Тема 11. Векторный анализ и элементы теории поля.

Пусть - область в двумерном пространстве.Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Линии, гденазываютсялиниями уровня скалярного поля .

Пусть - область в трёхмерном пространстве.

Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Поверхности, гденазываютсяповерхностями уровня скалярного поля .

Градиентом скалярного поля называется вектор

.

Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле, где,,- направляющие косинусы вектора.

Градиент скалярного поля в точкенаправлен по нормали к поверхности уровня, проходящей черезв сторону возрастания поля, а его модульравен наибольшей производной по направлению в этой точке.

Пусть - область в трёхмерном пространстве.Векторным полем на называется векторная функция, заданная в точках, где- радиус-вектор точки. Аналогично определяется плоское векторное поле.

Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля. Векторные линии полянаходятся из системы дифференциальных уравнений

.

Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля, то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими, называетсявекторной трубкой поля .

Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина.

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор.

Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством. Так, например:,,.

Векторное поле называетсяпотенциальным, если , где-скалярная функция (потенциал векторного поля).

Векторное поле называетсясоленоидальным, если в каждой точке поля .

Тема 12. Неявные и выпуклые функции.

Если уравнение , где- дифференцируемая функция по переменным, определяеткак функцию независимых переменных, то частные производные этой неявной функциивычисляются по формулам:,,…,при условии, что.

В частности, для функции , заданной неявно уравнениемсправедлива формула, при условии, а для функции, заданной уравнением

справедливы формулы:,, при условии.

Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявным уравнением, в точкеимеет вид, ауравнение нормали –вид .

Множество точек называетсявыпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и, оно содержит и отрезок.

Функция , определённая на выпуклом множественазываетсявыпуклой вверх, если для всех точек , где,и для любоговыполняется неравенствоивыпуклой вниз, если выполняется неравенство .

Матрицей Гессе функции в точке

называется матрица .

Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функцияявляется на этом множестве:1) выпуклой вниз, если при всех;2) выпуклой вверх, если при всех. Если на множествематрица Гессефункциизнакопеременна, тона этом множестве выпуклой не является.

Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичных форм.

Пусть , где- матрица квадратичной формы.Главными минорами матрицы называются миноры порядка(), составленные из первыхстрок и первыхстолбцов матрицы:,,…,.

Критерием знакоопределённости невырожденной симметрической матрицы являетсякритерий Сильвестра:

- матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные миноры положительны, т.е. ,,,;

- матрица отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех её главных миноров выполняются неравенства: ,,,,(все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны) ;

- матрица знакопеременна тогда и только тогда, когда для её главных миноров выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.