Тема 10. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.

Частной производной (1-ого порядка) функции в точкепо переменнойназывается предел, если этот предел существует. Частную производную обозначаютили.

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ().

Производные () называютсясмешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, ,,,,,… или,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям аргументовназывается разность.

Функция называетсядифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде, гдепри,- числа, не зависящие от.

Полным дифференциалом функциив точкеназывается главная, линейная относительночастьполного приращенияфункции, равная, где.

Функция, обладающая в точкенепрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал. Для функциидифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.

Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала-ого порядка и обозначается, т.е..

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива символическая формула, формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функциисправедливы формулы:,,

а для функции - формулы:,

.

Для функции -кратная дифференцируемость в точкеравносильна существованию в этой точке её полного дифференциала-ого порядка.

Если функция раз дифференцируема в точке, то в этой точке значение любой смешанной частной производной-ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

Если функция дифференцируемараз в точке, то приимеет местоформула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

,

где при. Частный случай формулы Тейлора в точкеназываетсяформулой Маклорена.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точкеимеет вид

,

а уравнение нормали – вид .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:.

В частности, для функции по формуле:, где,. Чем меньше значение, тем точнее формула.

Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной:, то производная сложной функциивычисляется по формуле. Еслисовпадает с одним из аргументов, например, то производная, называемая «полной» производной функциипо, вычисляется по формуле

.

Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных :,…,, то частные производные сложной функциивычисляются по формулам:

,

………………………….………………..,

.

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, где ;

, , где,.