Тема 5. Непрерывность функции.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки(левой полуокрестности, правой полуокрестности) и(,), то функцияназываетсянепрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , тоназываетсяточкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , тоназываетсяточкой устранимого разрыва функции .

2) Если в точке функцияимеет конечные односторонние пределыи, но они не равны друг другу, тоназываетсяточкой разрыва 1-ого рода.

3) В остальных случаях называетсяточкой разрыва 2-ого рода .

Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке- непрерывна справа, в точке- непрерывна слева). Функциянепрерывная на отрезкеобладает свойствами:1) ограничена на ;2) достигает на отрезке своего наименьшего значенияи наибольшего значения;3) для любого числа , заключённого между числамии, всегда найдётся точкатакая, что;4) если , то всегда найдётся точкатакая, что.

Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.

Приращением функции в точке, соответствующим приращению аргументаназывается выражение.

Производной 1-ого порядка функции в точкеназывается конечный предел. Геометрический смысл производной состоит в том, что числоравно угловому коэффициенту касательной к графику функциив точке:, где- угол наклона касательной к осипрямоугольной декартовой системы координат.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.

Если функция непрерывна в точкеи, то говорят, что в точкефункцияимеетбесконечную производную. В этом случае касательная к графику функции в точкеперпендикулярна к оси.

Числа иназываются, соответственнолевой и правой производными функции в точке. Условиеравносильно дифференцируемости функциив точке, при этом.

Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точкеестественной области определенияфункции, в которой аналитическое выражение её производнойимеет смысл. Производная, рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производнойназывается такжедифференцированием функции .

Основные правила дифференцирования элементарных функций.

1. Если идифференцируемые функции,- постоянная, то:

	,
	,

2. Если функция дифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, то сложная функциядифференцируема в точкеи имеет производную:

или кратко ..

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е..

Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции, где,- дифференцируемые функции:

.

Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением, то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, линейного относительно, где-рассматривается как сложная функция переменной.

Если и-взаимно обратные дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования обратной функции).

Если дифференцируемая функция задана параметрически:,, где,-дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования функции заданной параметрически).

При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается, т. е.. В общемпроизводной порядка (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается, т.е..Для производнойиспользуется также обозначение. Производнаяфункциивычисляется её последовательным дифференцированием:,,, …,. Если функциязадана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:

, ,….

Если функция дифференцируема в точке, то её приращениеможет быть представлено в виде:

, где при.

Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительночастьприращенияфункции:. В частности, для функцииимеем, т.е. дифференциал независимого переменногосовпадает с приращением. Поэтому дифференциал функциизаписывается в виде. Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменнаяявляется функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Для функции одной переменной существование в точкееё дифференциалаи производнойравносильны.

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается, т.е..

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива формула.

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

Уравнение касательной к графику функции в точкеимеет вид:, ауравнение нормали - вид: .Углом между двумя кривыми ив точке их пересеченияназывается уголмежду касательными к этим кривым в точке, тангенс которого вычисляется по формуле:.

Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда,предельной для называется величина,средней – величина . Буква- сокращение от слова(предельный), буква- сокращение от слова(средний). Предельная величинаявляется мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный приростпри изменениина единицу.

Эластичностью функции в точкеназывается предел. Эластичность, также как и, является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный приростпри изменениина один процент. Находят эластичностьфункциипо формуле