Тема 3. Предел функции. Эквивалентные функции.

Число называетсяпределом функции при (или в точке ), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Число называетсяпределом функции при , и пишут , если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Рассматривают также односторонние пределы функций: ,,,, гдестремится к,,или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем- или числоили символ):

1) Если - постоянная величина, то.

2) Если существуют конечные пределы ,, то:

а) ;б) ;

в) ;г) , если.

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точкииз её области определения справедливо соотношение.

Функция называетсябесконечно большой при , если. Функцияназываетсябесконечно малой при , если.

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если, то,если, то

2) Если и, то.

3) Если и, то.

4) Если и, то.

5) Если и, то.

6) Если и, то.

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:

, ,

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции, гдеи.

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если ,, то.

2) Если ,, товычисляют, учитывая, что:,.

Бесконечно малые функции иприназываютсяэквивалентными, и пишут ~, если.

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведенияодну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если~,~при, то:

;

Основные эквивалентности при
~	~	~	~
~	~	~	~
~	~	~

Тема 4. Числовые последовательности. Предел последовательности.

Если каждому натуральному числу по некоторому правилупоставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число, то говорят, что заданачисловая последовательность . Кратко обозначают. Числоназывается общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.

Число называетсяпределом последовательности , и пишут, если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.

Последовательность , имеющая конечный предел, называетсясходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется:1) убывающей, если ;2) возрастающей, если ;3) неубывающей, если ;4) невозрастающей, если . Все вышеперечисленные последовательности называютсямонотонными.

Последовательность называетсяограниченной, если существует число такое, что для всехвыполняется условие:. В противном случае последовательность -неограниченная.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Последовательность называетсябесконечно малой, если . Последовательностьназываетсябесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.

Числомназывается предел последовательности, где

Постоянную называют неперовым числом. Логарифм числапо основаниюназывается натуральным логарифмом числаи обозначается.