I.2. Доверительные интервалы и оценка их величины

Если случайная однородная выборка конечного объема n получена

в результате последовательных измерений некоторой величины А,

_

имеющей истинное значение "ми", то среднее этой выборки х следует

рассматривать лишь как приближенную оценку А. Достоверность этой

_

оценки характеризуется величиной доверительного интервала х

_

+/- "ЕЛЬТА" х, для которой с заданной доверительной вероятностью Р

выполняется условие:

_ _ _ _

(х - "ДЕЛЬТА"х) <= "ми" <= (х + "ДЕЛЬТА"х). (I.2.1)

Расчет граничных значений доверительного интервала проводят по Стьюденту, предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально:

_ _ _ t(P,f)s

(х +/- "ДЕЛЬТА"х) = х +/- ----------- (I.2.2)

---

\/ n

Здесь t(P, f) - табличное значение критерия Стьюдента (см. таблицу II приложения).

Если при измерении одним и тем же методом двух близких значений А были получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для выборки объема m справедливо выражение:

_ _ _ t(P,f(n))S(n)

х +/- "ДЕЛЬТА"х = х +/- --------------- (I.2.3)

(m) (m) (m) ----

\/ m

(индекс указывает принадлежность величин к выборке объема m или n).

Выражение I.2.3 позволяет оценить величину доверительного

_

интервала среднего х(m), найденного, исходя из выборки объема m.

_

Иными словами, доверительный интервал среднего х(m) выборки

относительно малого объема m может быть сужен благодаря

использованию известных величин s(n) и t(P, f(n)), найденных

ранее для выборки большего объема n (в дальнейшем индекс n будет

опущен).

m + n

Примечание I.2.1. Если n <= 15, а ----- > 1,5, величины s и f

n

целесообразно вычислять, как указано в примечании I.1.1.

Подставляя n = 1 в выражение I.2.2 или m = 1 в выражение

I.2.3, получаем:

х +/- "ДЕЛЬТА"х = х +/- t(P, f)s. (I.2.4)

i i

Этот интервал является доверительным интервалом результата отдельного определения. Для него с доверительной вероятностью Р выполняются взаимосвязанные условия:

х - "ДЕЛЬТА"х <= "ми" <= х + "ДЕЛЬТА"х; (I.2.5)

i i

"ми" - "ДЕЛЬТА"х <= х <= "ми" + "ДЕЛЬТА"х; (I.2.6)

i

_

Значения "ДЕЛЬТА"x и "ДЕЛЬТА"х из выражений I.2.2 и I.2.4

используют при вычислении относительных погрешностей отдельной

_________

варианты ("эпсилон") и среднего результата ("эпсилон"), выражая

эти величины в %:

"ДЕЛЬТА"х

"эпсилон" = --------- 100% (I.2.7)

_

х

_

_______ "ДЕЛЬТА"х

"эпсилон" = -------- 100% (I.2.8)

_

х

Пример I.2.1. В результате определения содержания хинона в стандартном образце хингидрона были получены следующие данные (n = 10).

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
хi,%	49,80	49,83	49,87	49,87	49,92	50,01	50,05	50,06	50,10	50,11

Расчеты по формуле I.1.2, I.1.4, I.1.5, I.1.6, I.1.9 дали следующие результаты:

_ 2

х = 49,96; f = 9; s = 0,01366; s = 0,1169; s_ = 0,03696.

х

Доверительные интервалы результата отдельного определения и среднего результата при Р=90% получаем согласно I.2.4 и I.2.2:

x +/- "ДЕЛЬТА"x = х +/- t(P,f)s = х +/- t(90%, 9)s =

i i i

= x +/- 1,83 х 0,1169 = х +/- 0,21;

i i

_ _ _ t(P,f)s 1,83 х 0,1169

x +/- "ДЕЛЬТА"x = х +/- ---------- = 49,96 +/- ------------- =

---- ----

\/ n \/ 10

= 49,96 +/- 0,07

_______

Тогда относительные погрешности "эпсилон" и "эпсилон",

согласно I.2.7 и I.2.8, равны:

"ДЕЛЬТА"х 0,21

"эпсилон" = --------- 100% = ------ х 100% = 0,42%;

_ 49,96

х

_

_______ "ДЕЛЬТА"х 0,07

"эпсилон" = --------- 100% = ------ х 100% = 0,14%.

_ 49,96

х

Обозначая истинное содержание хинона в хингидроне через "ми", можно считать, что с 90% доверительной вероятностью справедливы неравенства:

"ми" - 0,21 <= х <= "ми" + 0,21;

i

х - 0,21 <= "ми" <= х + 0,21 (при любом i);

i i

_ _ _

"ми" - 0,07 <= х <= "ми" + 0,07; х - 0,07 <= "ми" <= х + 0,07

(при n = 10).

Примечание I.2.2. Вычисление доверительных интервалов для случая, описанного в примечании I.1.2, проводят, исходя из логарифмов вариант. Тогда выражения I.2.2 и I.2.4 принимают вид:

t(P,f)s

_ _ _ lg

lg х +/- "ДЕЛЬТА"lg х = lg х +/- ------------; (I.2.9)

---

\/ n

lg х +/- "ДЕЛЬТА"lg х = lg x +/- t(P,f)s . (I.2.10)

i i lg

Потенцирование выражений I.2.9 и I.2.10 приводит к

_

несимметричным доверительным интервалам для значений х и х :

i

_ _ _ _ _

antilg(lg x - "ДЕЛЬТА"lg х) <= х <= antilg(lg х + "ДЕЛЬТА"lg х);

(I.2.11)

antilg(lg x - "ДЕЛЬТА"lg х ) <= х <= antilg(lg х + "ДЕЛЬТА"lg х ).

i i i i i

(I.2.12)

где

t(p,f)s

_ lg

"ДЕЛЬТА"lg х = -------------;

---

\/ n

"ДЕЛЬТА"lg х = t(P,f)s .

i lg

При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов

_

х и х имеем:

┌ ┐

││ _ _ _│ │

_______ ││antilg(lg x +/- "ДЕЛЬТА"lg х) - х│ │

"эпсилон" =│------------------------------------│ 100%; (I.2.12а)

│ _ │

│ х │

└ ┘

┌ ┐

││аntilg(lg x +/- "ДЕЛЬТА"lg х) - х │ │

││ i i│ │

"эпсилон" =│-------------------------------------│ 100%. (I.2.12б)

│ x │

│ i │

└ ┘