2. Устойчивость

Так как свободных параметров у этого класса разностных схем больше, появляется возможность при меньшем числе точек сеточного шаблона (т. е. при меньших K ) строить схемы более высокого порядка аппроксимации, чем в случае линейных многошаговых схем. В частности, приK= 1 (одношаговые, как методы Рунге–Кутты, схемы) имеем для схем второго порядка аппроксимации

a₁ = 1, a₀ = –1, b₀ = 1/2+c₀+c₁, b₁ = 1/2–c₀–c₁, (64)

c₀,c₁— произвольны. Если в дополнение к (64)

c₁=c₀– 1/6, (65)

то имеем однопараметрическое семейство 3-го порядка, а при

c₀=1/12, c₁=–1/12 (66)

— единственную на данном шаблоне схему 4-го порядка.

Для тестового уравнения с f=vимеем

v_t=f=v,v_tt=f_t=v=²v,…,

,

т. е. то же, что и в случае линейных многошаговых схем. В частности, при K= 1, как и в методах Рунге–Кутты, получаем геометрическую прогрессию:

vⁿ⁺¹ = qvⁿ, где q = –a₀/a₁ = [1 + (1/2 + c₀ + c₁) +

+ ²c₀] / [1 – (1/2 – c₀ – c₁) – ²c₁]. (67)

Из условия устойчивости |q(,c₀,c₁)| ≤ 1, требуя его выполнения для всех значений– ≤ Re() ≤ 0, в плоскости свободных параметров {c₀, c₁} можно получить все множествоA-устойчивых схем (заштриховано на рис.1.14; вертикальная штриховка — монотонные схемы, для которых, в случае действительных значений0 ≤ q ≤ 1, горизонтальная штриховка — устойчивые, но не монотонные схемы, для которых 1 ≤ q < 0).

Определяя из (67) |q(,c₀,c₁)|=–c₀/c₁, и приравнивая его нулю, получим, что множествоL-устойчивых схем расположено на прямой с₀=0 (исключая точку с₁=0).

Схемам 3-го порядка аппроксимации (65) на рис. 1.14 соответствует прямаяB₁B₂B₃, единственной схеме четвертого порядка (66) — точкаB₃, расположенная на границеA-устойчивых схем.

Точка Oс координатами

с₀= 0, с₁= 0 (68)

соответствует известной схеме «трапеций».

Рис. 1.14. Схемы Обрешкова в плоскости неопределённых коэффициентов ( K = 1 )

В целом данный класс схем заметно богаче класса линейных многошаговых методов. Он содержит целую полупрямую B₁B₂A-устойчивых схем третьего порядка аппроксимации, в том числеL-устойчивую схему — точкуB₂с координатами

c₀=0, c₁=–1/6, (69)

чего нет даже в методах Рунге–Кутты при K= 2.

1. Контрольные вопросы

   1. Общие вопросы к лабораторным работам 1–3

• Жесткие системы ОДУ. Поведение решений. Примеры.

• Жесткие системы ОДУ. Расположение собственных значений матрицы (Якоби). Признаки жёсткости.

• Требования к численным методам решения жёстких систем.

• Сходимость разностных схем в линейном приближении. А- иL-устойчивые, жёстко устойчивые, монотонные схемы.

• Построение схем методом неопределённых коэффициентов. Графическая интерпретация свойств различных методов.

• Какие достоинства и недостатки имеют неявные схемы? схемы высокого порядка аппроксимации?

• В каких случаях и зачем при реализации методов решения систем ОДУ используется матрица Якоби правой части?

• Достоинства и недостатки трёх изучаемых типов схем.

1. Схемы Рунге–Кутты (работа №1)

• Алгоритм явных, полуявных и неявных методов Рунге–Кутты.

• Условия аппроксимации. Сколько свободных коэффициентов имеют неявные (полуявные) схемы Рунге–Кутты 2-го (3-го) порядка при K=1, 2 (K — число членов в выражении для схемы)?

• Операторный метод исследования устойчивости. Какие методы (по признакам устойчивости) есть среди полуявных и неявных схем 2-го и 3-го порядка?

1. Линейные многошаговые схемы (работа №2)

• Условия аппроксимации. Сколько свободных коэффициентов имеют явные (неявные) линейные многошаговые схемы 2-го, 3-го и 4-го порядка при K=1, 2, 3 (K — число точек шаблона)?

• Исследование устойчивости. Многочлен устойчивости.

1. Схемы для продолженных систем (работа №3)

• Возможности построения A- и L-устойчивых схем Рунге‑Кутты, линейных многошаговых схем и схем Обрешкова. Влияние явности и порядка точности на эти возможности.

2. Примеры жёстких систем ОДУ

   1. Модель Филда–Нойса «орегонатор»

Простейшая модель периодической химической реакции Белоусова–Жаботинского состоит из трех уравнений:

На то, что система жесткая, указывают большие различия в константах скоростей реакций — есть процессы «быстрые», и есть «медленные».

Так как переменные системы — концентрации (HBrO₂, Br^– и Ce(IV) соответственно), то начальные условия для системы следует выбирать положительными. Как правило, их выбирают достаточно близкими к 0. Конечное время интегрирования системы T_k = 800. О системе см., например, [1–3].