- •Численное интегрирование жестких системобыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •Жесткие оду
- •Линейные однородные уравнения 1-го порядка
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Пример: задача Коши для линейного однородного уравнения второго порядка
- •Нелинейные жесткие уравнения
- •Пример: сингулярно-возмущённая нелинейная система второго порядка
- •Произвольная система нелинейных уравнений
- •Примеры простейших разностных схем для жестких оду
- •Способы построения схем
- •Требования к численным методам решения жёстких систем оду
- •Одношаговые методы типа Рунге–Кутты
- •Алгоритм
- •Аппроксимация
- •Устойчивость
- •Примеры схем Рунге–Кутты
- •Линейные многошаговые схемы (методы типа Адамса)
- •Алгоритм и аппроксимация
- •Устойчивость
- •Примеры линейных многошаговых схем
- •Схемы для продолженных систем (схемы Обрешкова)
- •Алгоритм и аппроксимация
- •Устойчивость
- •Контрольные вопросы
- •Общие вопросы к лабораторным работам 1–3
- •Схемы Рунге–Кутты (работа №1)
- •Уравнение Ван-дер-Поля
- •Система Ван-дер-Поля и траектории-утки
- •Суточные колебания озона в атмосфере
- •Уравнение Бонгоффера–Ван-дер-Поля
- •Сингулярно-возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа
- •Простейшая модель гликолиза
- •Модель химических реакций Робертсона
- •Модель дифференциации растительной ткани
- •Задача e5
- •Уравнение Релея
- •Экогенетические модели
- •Список литературы
Примеры схем Рунге–Кутты
Вернемся теперь к конкретному выражению для qиз (32) и для простоты ограничимся случаем действительных < 0. Это особенно не меняет существа дела, но упрощает выкладки. Будем также полагатьb12= 0 (полуявные схемы), тогдаqне зависит также и отb21, а оставшиеся два свободных коэффициента примем за оси координатной плоскости, в которой будем вести рассмотрение (рис. 1.12).
Рис. 1.12.
Полуявные схемы Рунге–Кутты в
плоскости
неопределённых коэффициентов
( K = 2 )
Множество схем 3-го порядка аппроксимации (31) на рис. 1.12 показано сплошной кривой (гипербола с асимптотами b11= 1/2,b22= 1/2).
Для L-устойчивых схем из (32), (34) имеем
b11b12 – (b11 + b12) + 1/2 = 0. (35)
На рис. 1.12 L-устойчивым схемам (35) соответствует штриховая кривая (гипербола с асимптотамиb11= 1,b22= 1). Видно, что в данном случае (среди полуявных схем Рунге–Кутты сK= 2)ниL-устойчивых,ни монотонных схем третьего порядка нет, аL-устойчивые схемы второго порядка расположены на кривыхA3A4΄A5΄иA4.
Несколько конкретных примеров. На прямой b11=b22, проходящей через точкиO,A4΄,B1,A2,A4, расположены схемы Бутчера. ТочкаA3(и точкаA3΄, так как точкам, симметричным относительно прямойb11=b22соответствует формальная замена в (21), (22) индексов 1 и 2) называется схемой Лобатто, и для неё таблица Бутчера имеет вид
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
½ |
0 |
½ |
или |
b21+½ |
b21 |
½ |
(36) |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
(более общий вариант, b21≠ –1/2).
Это полуявная (с явным предиктором, т. е. достаточно экономная по объему вычислений) схема 2-го порядка аппроксимации. Она расположена на границе областиA-устойчивых схем, монотонна лишь при ‑2 ≤ ≤ 0 и неL-устойчива (q(–)=–1).
Точка A1(и симметричная ей точкаA1΄) также расположена на границе областиA-устойчивых схем, неL-устойчива ((‑)=–1), монотонна лишь при –1– ≤ ≤ 0 и по своим свойствам мало отличается от схемы Лобатто. Соответствующая ей таблица Бутчера имеет вид
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
–½ |
½ |
или |
b21+½ |
b21 |
½ |
(37) |
|
½ |
½ |
|
|
|
|
(b21 ≠ 1/2). |
Точка A2являетсяA-устойчивой, но неL-устойчивой схемой ((–)=–1/2), монотонна при –1– ≤ ≤ 0, как и схемаA1, имеет второй порядок аппроксимации, по своим свойствам несколько лучше предыдущих схем. Соответствующая ей таблица Бутчера имеет вид
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
½ |
–½ |
1 |
или |
b21+½ |
b21–½ |
1 |
(38) |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
(b21 ≠ 1/2). |
Точки A4иA4΄являются примерамиA-иL-устойчивых схем (точкаA4также монотонна при всех отрицательных значениях) второго порядка аппроксимации. В соответствующей им таблице Бутчера знак ‘+’ относится к схемеA4, а знак ‘–’ — кA4΄:
|
|
0 |
|
|
|
|
(39) |
|
|
|
(b21 0). |
Схема Хаммера–Холлингсворта — 2-го порядка, неявная, не L-устойчивая (q(–)=1; пример неудачной схемы):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Явная схема Эйлера–Коши (точка O ):
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
(40) |
|
0 |
½ |
|
Две полуявные схемы 3-го порядка, не L-устойчивые, немонотонные,A-устойчивые:
1) точка B1(схема Розенброка)
|
|
0 |
|
|
|
|
(41) |
|
|
|
|
2) точка B2, для которой
1 |
1 |
0 |
|
1/3 |
–1/3 |
2/3 |
(42) |
|
1/4 |
3/4 |
|
Основная гипотеза, принимаемая здесь и в дальнейшем при анализе разностных схем: точкамвпространственеопределенныхкоэффициентов {bkl}, которые близки между собой (в смысле расстояния, например, в евклидовой метрике), соответствуют схемы, близкие по своим свойствам (точности, устойчивости и т. п.).