1.13 Теорема єдиності розв’язку
Як було показано раніше, електростатичне поле повністю описується рівняннями Пуассона і Лапласа, які є рівняннями в частинних похідних. Єдиний розв’язок конкретної задачі знаходиться, якщо задані граничні умови. В тому, що такий розв’язок існує і він єдиний, переконує теорема єдиності розв’язку, яка доводиться від протилежного.
Припустимо,
що при заданих граничних умовах є два
різних розв’язки, тобто знайдено вектори
і вектор
.
Обидва розв’язки повинні задовольняти
такі рівності
Знайдемо
дивергенцію і ротор різниці цих двох
розв’язків
Отже,
у всіх точках
поля у вектора
і дивергенція і ротор дорівнюють нулю,
а це означає, що такий вектор також
дорівнює нулю. Тому
,
тобто має місце тільки один розв’язок,
що і доводить теорему.
Дана теорема має два дуже важливих наслідки, які дуже корисні для розв’язування цілого класу задач:
- електростатичне поле в деякому об’ємі, обмеженому еквіпотенціальними поверхнями, не змінюється, якщо ці поверхні замінити провідниковими поверхнями і надати їм відповідні потенціали;
-
електростатичне поле з однієї сторони
поверхні
не зміниться, якщо з другої сторони цієї
поверхні змінити параметри середовища
і розподіл зарядів так, щоб збереглись
граничні умови на поверхні
.
Контрольні питання
Чому поле, яке розглядається в даному розділі, називають електростатичним ?
Чи є напруженість в точці електростатичного поля, якщо в даній точці відсутній пробний заряд ?
З якими фізичними властивостями електростатичного поля пов’язані поняття напруженості і потенціалу ?
Якими двома основними співвідношеннями пов’язані напруженість і потенціал ?
Як розташовані в електростатичному полі один відносно одного силові лінії і еквіпотенціальні поверхні ?
Чому силові лінії завжди розташовані по нормалі до еквіпотенціальних поверхонь ?
Що характеризує об’ємна, поверхнева і лінійна густина зарядів ?
Чи існують області електростатичного поля, в яких інтеграл від напруженості поля по замкненій поверхні дорівнює нулю ?
Чому дорівнює дивергенція вектора зміщення в точках простору, в яких є поле, але відсутні вільні заряди ?
Що собою являє електричний диполь ?
Який диференціальний вираз характеризує наявність точок поля, в яких починаються або закінчуються силові лінії напруженості поля ?
Яке співвідношення пов’язує між собою вектори електричного зміщення і напруженості електростатичного поля ?
Які одиниці вимірювання напруженості електростатичного поля, електричного зміщення і потоку вектора зміщення ?
Що таке діелектрична міцність діелектрика ?
Що характеризує різниця потенціалів між двома точками з енергетичної точки зору ?
В яких випадках поля називаються потенціальними ?
Які величини, що характеризують електростатичне поле, входять в рівняння Пуассона ?
В яких точках простору, де є поле, справедливо рівняння Лапласа ?
Як записують символ набла (
)
в прямокутній системі координат ?Чому дорівнює електричне зміщення в електростатичному полі на поверхні зарядженого провідника ?
Як ведуть себе нормальні і дотичні складові векторів напруженості і зміщення при переході з одного середовища в інше ?
Під яким кутом до поверхні провідного тіла направлені силові лінії напруженості електричного поля?
Чому дорівнює напруженість електростатичного поля в області, де потенціал має постійне значення, яке не залежить від координат?
Чому дорівнює функція
в середині провідного тіла?В напрямку вектора
потенціал змінює своє значення з
максимальною швидкістю. В якому напрямку
потенціал не змінює своє значення?Яке значення приймає функція
:
в середині зарядженого провідника,
в оточуючому його діелектрику,
на поверхні зарядженого провідника?