Поверхности вращения

Поверхность вращения общего вида — поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Определитель поверхности вращения:

(a, i)[A],

где a — образующая;

i — ось вращения;

[A] — условие о том, что образующая “а” вращается вокруг оси i.

Каждая точка образующей а(A,B,C,D,E) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями.

Наибольшая параллель — экватор.

Наименьшая параллель — горло (горловина).

Плоскости, проходящие через ось i , называют меридиональными (плоскость  на рис. 130).

Рис. 123

Линии пересечения меридиональных плоскостей с поверхностью называют меридианами.

Меридиональная плоскость ₁, параллельная плоскости проекций, называется главной меридиональной плоскостью. Линия ее пересечения с поверхностью — главный меридиан.

Частные виды поверхностей вращения

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в машиностроении. Это объясняется наибольшей простотой обработки их на станках, даже по сравнению с поверхностями параллельного переноса или винтовыми. Особенно распространены поверхности, образованные вращением прямой линии или окружности (части окружности).

Линейчатые поверхности вращения

(поверхности, образованные вращением прямой)

Возможны три случая расположения прямой образующей а относительно оси вращения i — образующая параллельна оси вращения, пересекает ось или скрещивается с нею. Соответственно имеются три вида линейчатых поверхностей вращения (рис 131):

— цилиндр вращения;

— конус вращения;

— однополостный гиперболоид вращения.

Рис. 124

Цилиндр вращения образуется вращением прямолинейной образующей а при условии, что а  i , где i — ось вращения (рис. 131à).

Конус вращения образуется вращением прямолинейной образующей а при условии, что а  i = S,

где i — ось вращения,

S — вершина конуса (рис. 131б).

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямолинейной образующей а вокруг оси вращения i при условии, что a i (рис. 131в).

Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован вращением гиперболы вокруг своей мнимой оси.

Однополостный гиперболоид вращения имеет два семейства образующих — а и а1.

Цилиндр, конус и однополостный гиперболоид вращения — поверхности второго порядка.

Поверхности, образованные вращением окружности

В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения можно получить различные поверхности (рис. 132).

Рис. 125

Тор (рис. 132а). Образуется вращением окружности а вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности а, но не проходящей через ее центр О. Это поверхность четвертого порядка.

Сфера (рис. 132б) — частный случай тора, когда центр О принадлежит оси вращения. Поверхность второго порядка.

Рис. 126

Глобоид (рис. 132в). Образующая — дуга окружности, обращенная выпуклостью к оси.

Ортогональные проекции тора, сферы, глобоида и построение проекций точки, принадлежащей названным поверхностям, показаны на рисунках 133, 134 и 135.

Рис. 127 Рис. 128

ПОВЕРХНОСТИ ВИНТОВЫЕ

Винтовая поверхность получается винтовым перемещением образующей. Как известно, винтовое перемещение характеризуется вращением вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси.

В зависимости от формы образующей, винтовые поверхности бывают линейчатые и нелинейчатые.

Винтовые поверхности широко применяются в машиностроении (резьба крепежных изделий, ходовых винтов, шнеков и др.).

Определитель винтовой поверхности:

(a, m)[A],

где a — образующая (кривая или прямая);

m — направляющая — винтовая линия;

[A] — указания о характере винтового перемещения образующей.

Линейчатые винтовые поверхности называют ГЕЛИКОИДАМИ.

Если образующая пересекает ось, геликоид называют закрытым.

Если она скрещивается с осью, геликоид — открытый.

В зависимости от угла наклона образующей к оси, геликоиды различают

— прямые, когда угол равен 90^о;

— косые, когда угол произвольный, отличный от 0^о и 90^о.

На рис. 136 показан закрытый прямой геликоид. Закрытый косой геликоид изображен на рис. 137.

Закрытый прямой геликоид иногда называют винтовым коноидом.

Почему? Для ответа следует сравнить рис. 137 и рис. 122.

10.

Рис. 129 Рис. 130

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ

План:

10.1. Пересечение плоскости с поверхностью многогранника.

10.2. Пересечение плоскостью поверхности вращения.

10.3. Конические сечения.

10.1.Пересечение плоскости с поверхностью многогранника

Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны — линиями пересечения граней с секущей плоскостью.

Таким образом, построение сечения многогранника плоскостью сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линии пересечения плоскостей.

Плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью, называется сечением. Построение сечений значительно упрощается, если один из пересекающихся элементов (секущая плоскость или пересекаемая поверхность) занимают проецирующее положение и одна проекция сечения известна.

На рис. 138 показано сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фронтальная проекция A” сечения совпадает с фронтальным следом P_V секущей плоскости. Проведя линии связи до горизонтальных проекций соответствующих ребер многогранника, получим горизонтальную проекцию сечения А'B'C'.

Рис. 131

На рис. 139 показано сечение прямой четырехугольной призмы плоскостью общего положения. Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми — горизонталью и фронталью. Боковые грани призмы — горизонтально-проецирующие плоскости. Следовательно, горизонтальная проекция сечения известна, она совпадает с горизонтальной проекцией боковых граней и ребер призмы.

Рис. 132

Для построения фронтальной проекции сечения необходимо спроецировать точки 1', 2', 3' и 4', принадлежащие секущей плоскости, на фронтальную проекцию. Воспользуемся какой-либо линией уровня, например фронталью. Проводим через точки 1', 2', 3' и 4' горизонтальные проекции фронталей, а затем строим их фронтальные проекции. В пересечении с соответствующими фронтальными проекциями ребер получим искомые проекции точек пересечения ребер с плоскостью. Соединив полученные точки прямыми в последовательности, которая задана горизонтальной проекцией и определив невидимые участки сечения, закончим построение.