Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b].
Тогда для x [a,b] она будет интегрируемой на отрезке [a, x].
Рассмотрим интеграл, который является функцией верхнего предела интегрирования:
x
(x) f (t)dt
a
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Интеграл с переменным верхним пределом
Теорема (Барроу):
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда функция
x
(x) f (t)dt
a
является первообразной для функция f (x) на отрезке [a, b].
И. Барроу (1630–1677) – английский математик
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема:
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – любая её первообразная на этом отрезке.
Тогда определённый интеграл от функции f (x) на отрезке [a,b] равен
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Вычисление определённого интеграла
Вычисление определённого интеграла сводится к нахождению двух значений любой первообразной для подынтегральной функции: для нижнего и для верхнего пределов интегрирования:
b |
|
ba |
f (x)dx F (x) |
|
|
|
||
a |
|
|
F (b) F (a)
где F(x) – первообразная функции f (x).
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Вычисление определённого интеграла
Метод интегрирования по частям:
Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые на интервале [a, b] функции.
Тогда определённый интеграл вычисляется по формуле:
b |
|
ba |
b |
u(x)dv(x) u(x) v(x) |
|
v(x)du(x) |
|
|
|||
a |
|
|
a |
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Вычисление определённого интеграла
Метод замены переменной и метод подстановки:
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], а
x (t) |
непрерывно дифференцируемая на отрезке [ , ], |
||
такая, что |
a (t) b. |
|
|
Тогда если |
a ( ), |
b ( ), |
то справедлива формула: |
b |
|
|
|
f (x)dx f (t) (t)dt f (t) d (t) |
|||
a |
|
|
|
Интегральное исчисление |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
Определённый интеграл: Свойства
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [– a, a].
|
|
a |
a |
Если f (x) |
– чётная функция, то f (x)dx 2 f (x)dx |
||
|
|
a |
0 |
|
|
|
a |
Если f (x) |
– нечётная функция, то |
f (x)dx 0 |
|
|
|
|
a |
Если f (x) |
– периодическая функция с периодом Т, то |
||
|
a T |
T |
|
|
f (x)dx f (x)dx |
||
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
Высшая математика |
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент |
кафедры высшей математики БГУИР |
math.mmts-it.org