§ 12. Проводник в электростатическом поле

Проводники имеют свободные, не связанные электрические заряды, т.е.

свободные заряженные частицы. Под действием электростатического поля г

исходит перемещение зарядов на поверхность проводника. Макроскопичеси

описание дает следующие свойства проводника;

i/ Так как в электростатике } -з-о , Х$ по закону Ома дл

проводника при ^внутри проводника — 0 ♦ Вспомните клети

Фарадея !

2/ Соответственно так же Ф а 0 и из 4-го уравнения Максвелла

f~Tfrcttt$^ , т.е. J »- ° . ^

3/ Поскольку 6" s ^^гл^^» но внутри ^"—^ t то^-А^Ус-О иУ=£о

Весь проводник характеризуется одим значением потенциала ^ . Поверхно

проводника является первой эквипотенциальной поверхностью.

4/ Заряды располагаются на поверхности проводника, т.е. (Г^ t> .

5/ Из граничного условия СЗ^-^*и -Verff^t где 10<и^О внутри провод

получаемк пУч^и &xn^*ftr£ » т.е. внешняя напряженность вблизи

поверхности тооводика направлен^ по нормали к поверхности проводика

£jl =. ^£ fr . • При этом учтено, что касательная составляющая

внешней напряженности б5т-=фогласно граничному условию Gxf— £ft~— о**

Достаточно полное описание свойств проводника Q^cm. Тамм И.Е. * £J

Для уединенного проводника заряд на его поверхности мокев быть запи

рде - емкостный коэффициент или просто емкость.

Если имеется несколько проводников, то заряд на одном из них, например

где С*;* при <£^И - емкостныГ: коэффициент, ^

Ск-п при fc^fc - коэффициенты индукции /влияния /.

Например, для двух проводников согласно CS.37) можно запивать:

Если , f^^-p f например, для конденсатора, можно записат

Пусть Yic-O . Складыяая an уравнения при Г, »0 , получаем:

0=^ ^{С,г+Ся1_)ГКУА& при следует: Зьг--<?*4.

Пусть теперь %.-0 , складывая уравнения , получаем: 0— % •fiCju

пщФ4фО следует, что = CjLf .Но следовател

Cfitz&XL S С ^ где О - емкость конденсатора. С- мозг не

найти из первого уравнения, например: Cf^t—^^J Тогда получае

Емкость конденсатора, как известно из курса общей физики, зависит толь

от свойств самого конденсатора.

§ 13. Диэлектрики в электростатическом поле

План

i. Диполь. Потенциал поля диполя.

II. Поляризация диэлектрика. Вектор поляризации.

III. Связь вектора поляризации с плотности) связанных зарядов.

1. Диэлектрики в отличие от проводников имеют связанные заряды. Форма

но диэлектрик можно представить как совокупность^иполей - уже "готовы

т.е. существующих и в отсутствии внешнего поля £"г09 или наведенных -

ду:тированных внешним полем. В макгоскопическоГ электродинамике отвлека

ся от этих деталей. Просто полагают, как мы уже ^ачале отметили, что

диэлектрик состоит из диполей. Поэтому сначала вычислим потенциал поля

диполя. Как известно, диполем называется система из двух разноименных,

одинаковых по величине зарядов. Причем эти заряды расположен компакта

т.е. достаточно близко друг к другу, на расстоянии £ . При стом

вектор £. направлен от — f к ftf .(см.Рис. 20.)

Рис, 20 Диполь. К расчету Рис. 21. Диполь. К расчету

дипольного момента р • потенциала ^.

Согласно общему определению дипольный момент для диполя получаем:

/так, для диполя дипольныР момент равен: ^ =zy<- . От выбора начала

отсчета т. 0 %Р^>не зависит, так как т.О выбрана произвольно.

Вычислим потениЗяал поля диполя в точке наблюдения Си при

Согласно рис. 2i имеем для диполя:

Сделаем приближения: так как Лег ц,, то предположим, что tZ.tfGr'i 9

в знаменателе Ъ-рТ*, ^ ^5. 9 в ^f^tj. - tcMJ- ( • исJ|

Тогда ^ j£c*£ Р^±,^ ^

Итак, потенциал поля диполя равен:

''огмула (^.39)в самом деле совпадает с формуле: (?.24^длл ^ из разд.

жения для потенциала системы зарядов £см. §11 )• ^

11. Рассмотри!*поведение диолектрика во внешнем поле. При £Г* Я диэлект!

полгризуется. ото значит, что объем Av диэлектрика приобретает дипол!

ныР t/омент dj? » которы? можно записать:

где г - вектор, характеризующий поляризацию диэлектрика и называем!

вектором поляризации. Вектор поляризации- определяется как дипольный *

мент единицы объема и равен: ^

*К ;Х % - 6.4.

Для дискретного распределения дипольных моментов ^ вектор поляризации

определяется : ^ Щ;

Я= v

ксперименты показывают, что г* г-* _

где ^/ - коэффициент поляризации данного диэлектрика.

111. }'ы ввели два разных подхода к описанию диэлектрика: Ц с помогц»:

связанных зарядов, которые можно охарактеризовать e-fTCVe объемной

плотностью связанных зарядов^иу и поверхностной плотностью связан

заргдов<^^/ с помощью вектора поляризации Р . Необходимо связать

между собой эти введенные величины.

Сначала предположим, что потенциал поля при наличии диэлектрика

ново представить в виде:

где Td - потенциал внешнего поля в вакууме,

- потеншал поля за счет поляризации диэлектрика.

При гтом (f6 . ^

и аналогично

согласно

С другоР стороны выразим Yf<& через полгризациго Р . Для этого снача

запишем потенциал от элемента объема dV как потенциал поли диполя с д

польным гоменто?.' ctf ta затем введем вместо otf вектор поляризации

С 2.40) :

Тогда для всего объема диэлектрика получаем:

Преобразуем подинтегтальное выра^енре в у:

? *. ^ т >

причем градиент берете1 по точке источника, лалее используем то: дество

векторного анализа:

J*foa)*№£+&-f"*'P .полагал 0.=Pj •

Тогда тождество получим для /5 и ^ :

откуда; подинтегральное выра ение :

Подставим в (^2.45) t сразу разбивая на два интеграла:

Займемся вторым интегралом в (£.46J . lifc 1-й теореме Остроградского-Га-

усса преобразуем : ^ /Г Л

Но ?то преобразование возможно, если внутри осъема у нет поверхносте

разрыва .

Рассмотрим разные случаи,

I. Во всем пространстве, занятом полем, нет поверхносте'/ разрыва [Рц

Тогда мо но применить ^2.47 \ . Устремим поверхность ^ к ^ф , ох-

ватывающее полное поле, • то ьгачг.т, что па S ВфлО,\ соответственно

~РzzO • ^то возможно, если заряды расположеня в конечное обласии п{

странства. В самом деле, разложение потенг нала системы зарядов показы-

вает, что самое меменное убвание с расстоянием дает приближение точе*

ного заряда ^ — • Соответственно, напряженность полк £*с*-91а*(\

Твевб^Л"^* ПрИ t~a?'t/> &о~>0 9 коне;шо учесть , что i леменз

поверхности dSP&S>m Ц^5~ i^>^ "»о при • при

: том учтено, ЧТО P^~V Eo"^*~l •

Для других приближений будет солее быстрое убывание с увеличением рассто-

яния. Поэтому можно положить:

V

Сравнивая И#4б^ с первым интегралом в Qj.46 J получаем:

2. Пусть внутри och>eua*V~ есть хотя бы одна поверхность разрыва $

на которой Рлу\- РчиФ 0 • На внешнее поверхности 5 , окружающей гвйЬра

ны# объем -у , разрыва нет, как и во всем остальном пространстве, заня-

том полем. Зсе "неприятности" сосредоточены внутри данного осъема .

Применим метод, которые успешно используется в электростатике и магнито-

статике. Окру аем поверхность разрыва S/»yf* замкнутоГ поверхностью 3 \

на котогоС f>i непрерывна. При .-том поверхность S' .додходит достаточно

слизко к £^ф>.(см. Рис 2с) . Нормаль "Й к Sf*& направлена от 1-:

ко 2-9. среде. Нормали Л1 и ~У{Ь направлены перпендикулярно элементам

oi$<t г cfS^ 9 При этом Si и -С части поверхности ^/ , кото-

рые находятся в 1-й и 2-Р среде соответственно как указано на^Еис.^.

РисД?ПЬвер; ности S; f^U,

Тогда по 1-й теореме истроградского-Гаусса мояно записать:

Первы* интеграл ty^S ^ Ф<*^°?$ "> ° /

ушж в случае 1.,"Ак как все "неприятности") повторимся, содержатся во

ром интеграле. < ян>чпии . 1»и»и^ип ъ*?]^—.нтутралг ,

Запишем отдельно второй интеграл:

мы вря Iтом пренебрегли потоком через соковую поверхность, которая мала,

так как £f достаточно 'лизко подходит к jy^. Их РиСлУвидно, что нор-

маль параллельна нормали JJ , следовательно Рп* = п •

Нормаль f)x аитипараллельна и » следовательно Ро^-Рд^* Устремляя

Тогда

десь мы опустили слово "разрыв", считая, что Л это и есть поверх-

ность, на которой р1Иф Pxvy . Подставим этот результат в^2.4б) :

° V v 5 ^

Сравнивая с VW~ , получаем:

Итак, мы нашли связь вектора поляризации с объемно^ре4^) и поверхност-

но" (бс/л) плотностью связанных заргдов. Ос судим полученные результаты,

i/ Согласно (j^.bO) pcti^^Oi если o/u)p^0 i т.е. елли поляризации неод-

нородна, ото возмог.-но, если внешнеее поле неоднородно, если диэлектрик

неоднороден, ^ если неоднородны? диэлектрик находится в неоднородном поле

X/ Евли etu) ]$я-0 " однородный ди:лектрик в однородном поле , T0Jk(*£r о

I Согласно ^•Sl^^ftntoHa поверхности 3 при p<Y% ^ рлИ

4/ : ели нет скачка ри }, т.е. рщ-аЦ^ то Celtic о

•то Феноменологическое описание, конечно, не раскрывает все многообразие

диэлектриков и их поведение во внешнем поле, /"ля етого необходим более

строги? подход - микроскопическое описание.