§10. Дифференциальные уравнения для потенциала, их общие решения. Нормировка потенциала. Решение 2-й задачи.

Найдем дифференциальные уравнения для потенциала. Для этого запишем 4-е уравнение Максвелла и уравнение связи:

Используем тождество векторного анализа

при этом полагая

Тогда

Подставим вместо из (2.6) выражение для

Согласно векторному анализу

Тогда

С учетом этих преобразований вместо 4-го уравнения Максвелла получаем уравнение для :

Или разделив обе части уравнения на , получим:

Это дифференциальное уравнение для в неоднородной среде. Стандартного решения оно не имеет.

Для однородной среды . Тогда вместо уравнения (2.10) получаем:

Это уравнение Пуассона для потенциала .

Если , то получается уравнение Лапласа:

Уравнение Лапласа – однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных. Оно описывает потенциал поля вне заряженного тела в однородной среде. Общее решение уравнения:

Постоянную интегрирования можно выбрать в видегде – заряд тела (см. Приложение III). Тогда:

Постоянную определим из условия нормировки. Нормировка потенциала – процедура придания однозначности потенциалу. Иначе говоря, выбор определенного значения, так как согласно (2.13) и (2.14) определяется неоднозначно.

Как видно из решений (2.13) и (2.14) , убывает с ростом. Вполне

разумно потребовать, чтобы в бесконечности обращался в нуль; если, то . Тогда для бесконечности имеем:

откуда .

После нормировки общее решение запишется так:

Формально оно совпадает с потенциалом поля точечного заряда, известного из курса общей физики.

Решение уравнения Пуассона найдем не строго, чисто качественно. Для этого разбиваем весь объем , заряженный с объемной плотностьюна элементарные объемыПричемимеет заряд такой, чтобы его можно было считать точечным.

Рис. 18 Объем

Тогда можно применить полученное решение (2.15) для :

Потенциал от всех элементов объеманаходим по принципу суперпозции:

Итак,

Это и есть искомое решение уравнения Пуассона, строго оно получается в курсе "методы математической физики".

Решения (2.15) и (2.16) отличаются при . В самом деле, согласно (2.15) при. Это означает, что применять решение (2.15) принельзя, нарушается требование точечности заряда.

Решение (2.16) не расходится при . Рассмотрим решение для:

Если не уменьшается с уменьшением.при этом может обращаться в нуль, либо быть постоянным. Так что (2.16) является более общим решением.

В электродинамике дискутируется проблема, обусловленная неоднозначностью потенциала, существует две точки зрения:

1) неоднозначен и поэтому является вспомогательной функцией, никакого

физического смысла не имеет.

2) неоднозначен, но можно придать ему однозначность и физический смысл

Автор придерживается второй точки зрения.

Отметим, что неоднозначность потенциала не влияет на значение напряженности и работы. В самом деле:

,

т.к.

Аналогично для работы находим:

Напряженность и работа имеют одно вполне определенное значение.

К этой проблеме мы будем возвращаться скова в последующих главах.

Теперь учтем все возможные случаи распределения заряда и запишем потенциал:

Тогда электрическая напряженность равна:

Это и есть решение 2-й задачи электростатики в общем виде.