1.2. Представление чисел в позиционных системах счисления

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием, меньшим десяти, используются цифры от 0 до 9. При основании, большем десяти, к перечисленным цифрам добавляются буквы. Приведем пример для самых распространенных систем счисления (табл. 1).

Таблица 1. Распространенные системы счисления

Основание	Название системы счисления	Цифры для обозначения
2	Двоичная	0, 1
3	Троичная	0, 1, 2
5	Пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
8	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7
16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B,C,D,E,F

В системе счисления с основанием (-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа, иначе говоря,единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в-ичной системе счисления требуетсяразличных знаков (цифр), изображающих числа 0,1, …,–1. Запись числав-ичной системе счисления имеет вид 10.

Таким образом, в позиционной системе счисления любое вещественное число можно представить в следующем виде:

(1)

или

, (1а)

где – само число; – основание системы счисления;– цифры данной системы счисления;– число разрядов целой части числа;– число разрядов дробной части числа.

Приведенная выше формула называется развернутой формулой записи.

Исходя из данной формулы можно получить формулу для записи произвольного целого числа:

, (2)

а также формулу для записи произвольного дробного числа:

. (3)

1.3. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления и обратно Перевод целых чисел

Алгоритм перевода. Пусть – десятичное целое число. Тогда в разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами. Данное число представляется в виде

. (4)

1. Число разделим на. Неполное частное равно:, а остаток равен.

2. Полученное неполное частное опять разделим на , остаток от деления будет равен.

3. Продолжим данный процесс деления, пока на -м шаге не получим набор цифр:, которые входят в-ичное представление числаи совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на.

4. Запишем десятичное целое число в новой системе счисления, начиная запись с последнего частного:

. (5)

Пример. Переведите число 123₁₀ в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления (123₁₀→А₂; 123₁₀→А₈; 123₁₀→А₁₆).

- 123	2
122	- 61	2
1	60	- 30	2
	1	30	- 15	2
		0	14	- 7	2
			1	6	- 3	2
				1	2	1
					1

Результат: 123₁₀=1111011₂.

Проверка: 1·2⁶+1·2⁵+1·2⁴+1·2³+0·2²+1·2¹+1·2⁰=123₁₀.

-123	8
120	-15	8
3	8	1
	7

Результат: 123₁₀=173₈.

Проверка: 1·8²+7·8¹+3·8⁰=123₁₀.

-123	16
112	-7
11

Результат: 123₁₀=7B₁₆.

Проверка: 7·16¹+11·16⁰=123₁₀.