КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ КОДЭИ

Отсюда вытекает одно из ограничений линейной регрессии: линию регрессии следует считать подходящей аппроксимацией некоторой реальной функции только в том диапазоне изменений входной переменной х, в котором распределены исходные наблюдения. В противном случае результаты могут оказаться непредсказуемым.

Значение коэффициента наклона линии регрессии b1 можно интерпретировать как среднюю величину изменения значения выходной переменной при изменении значения входной переменной на единицу.

В нашем примере

y^= 19,633 - 1,117x

это означает, что при увеличении результата в беге на одну секунду можно ожидать увеличения расстояния прыжка в среднем на

1,117 метра.

Линия регрессии для найденного нами уравнения представлена на рисунке. Для линии регрессии сумма квадратов вертикальных расстояний между точками данных и линией должна быть меньше, чем аналогичная сумма квадратов для любой другой прямой.

Конечно, можно применять метод наименьших квадратов без всяких предположений относительно распределения ошибок. Из всех возможных прямых мы просто выбираем прямую, сумма квадратов расстояний до которой от наблюдаемых точек минимальна. Таким образом, мы получаем оценки коэффициентов b1, b0.

Но каково качество этих оценок? В условиях нормального распределения ошибок оценки параметров модели, построенные методом наименьших квадратов, являются оптимальными. Если распределение отличается от нормального, то свойство оптимальности может быть утрачено. Например, в данных могут быть резко выделяющиеся наблюдения

(выбросы), а метод наименьших квадратов чувствителен к выбросам.

Оценка соответствия простой линейной регрессии реальным данным

Пример

23