КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ КОДЭИ

Если предположить, что зависимость между

переменными линейная, то для построения модели достаточно провести прямую линию, проходящую через «облако» точек, соответствующих наблюдениям. Тогда наклон линии покажет, насколько уменьшится результат при увеличении времени.

Если мы хотим смоделировать зависимость прыжка в длину в метрах от времени бега на дистанцию 100 метров, то нужно построить прямую, каждая точка которой будет представлять собой оценку прыжка в длину для заданного времени бега. Но таких линий можно построить бесконечно много, и только одна из них обеспечит оптимальную оценку прыжка в длину. Естественным было бы провести линию таким образом, чтобы рассеяние вдоль нее точек, соответствующих реальным наблюдениям, было минимальным.

На практике линию строят так, чтобы сумма квадратов отклонение наблюдаемых значений от оцененных с помощью данной линейной зависимости была минимальной, то есть:

где N — число наблюдений; y^i — оценка выходного значения i-го наблюдения, полученная с помощью модели; yi— реально наблюдаемое значение в i-м наблюдении.

Данный метод известен как метод наименьших квадратов (МНК), а линия построенная с его помощью, называется линией регрессии.

Линия регрессии — это прямая наилучшего приближения для набора пар значений входной и выходной переменной (х, у), выбираемая таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от точек (хi,yi) до этой прямой, измеренных вертикально (то есть вдоль оси у), была минимальна.

Уравнение, описывающее линию регрессии, называется уравнением регрессии:

y^ = b0+b1x,

где у^ — оценка значения выходной переменной; b0 — точка пересечения линии с осью у, называемая также свободным членом. Это значение, которое принимает выходная переменная у^ при х = 0. Коэффициент b1 определяет наклон линии относительно оси х.

Коэффициенты линейного уравнения b0 и b1 называются коэффициентами регрессии.

Таким образом, задача построения модели простой линейной регрессии сводится к нахождению таких коэффициентов b0 и b1 для которых сумма квадратов ошибок, то есть разностей между реально наблюдаемыми значениями выходной переменной yi, и их оценками y^i была бы минимальна. Уравнение регрессии с учетом ошибки между наблюдаемым и оцененным значениями будет

y^i = b0 +b1х + ε,

где ε — ошибка.

Используя МНК, вычислим оценки коэффициентов регрессии для данных из таблицы:

b1= 19,633; b0= -1,117.

y^= 19,633 - 1,117x.

Смысл коэффициентов уравнения регрессии следующий: b0 — это значение выходной переменной у при значении входной переменной х = 0. Значит, если бы спортсмен пробежал дистанцию 100 метров за 0 секунд, то оценка его прыжка в длину составила бы 19,3 метра. Однако данная формальная интерпретация явно противоречит здравому смыслу, поскольку спортсмен не может бежать бесконечно быстро.