13.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Четная функция на отрезке	Четная функция на отрезке
Нечетная функция на отрезке	Нечетная функция на отрезке

Замечание. Если функция определена на отрезке , то, продолжив ее на промежутокчетным или нечетным образом, можно разложить данную функцию в ряд Фурье только по косинусам (в случае, если– четным образом) или только по синусам (в случае, если– нечетным образом).

Пример 20. Разложить функцию в непол-ный ряд Фурье: 1) по синусам кратных дуг, 2) по косинусам кратных дуг.

Решение. 1) Для разложения данной функции в ряд Фурье, содержащей только синусы, продолжим ее на интервал (–1, 0) нечетным образом. В этом случае график функции будет симметричен относительно начала координат (рис. 47).

Легко убедиться, что построенная таким образом функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. Зная, что длина заданного интервала (0,1) равна, найдем коэффициенты:

Коэффициенты так как функция нечетна. Следовательно, разложение данной функции в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг примет вид:

2) Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье по косинусам кратных дуг, продолжим ее на интервал (–1; 0) четным образом. В этом случае график функции будет симметричен относительно оси (рис. 48).

Построенная таким образом функция удовлетворяет теореме Дирихле и, следовательно, разложима в ряд Фурье. Определим ее коэффициенты Фурье:

Коэффициенты так как функция четная. Следовательно, разложение данной функции в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг примет вид:

148