- •9. Понятие интегралов на поверхности
- •9.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •9.2. Понятие о двусторонней поверхности
- •9.3. Поверхностный интеграл второго рода
- •10. Элементы теории поля
- •10.1. Скалярное поле Производная по направлению. Градиент
- •10.2. Векторное поле
- •Свойства простейших векторных полей
- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Виды и способы решения дифференциальных уравнений
- •12. Числовые и функциональные ряды
- •12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами
- •12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)
- •12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •12.3. Числовые ряды с комплексными членами
- •12.4. Функциональные и степенные ряды
- •12.4.1. Область сходимости. Интервал сходимости
- •12.4.2. Равномерная и неравномерная сходимость
- •Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда
- •12.5. Ряды Тейлора
- •12.5.1. Необходимое условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.2. Достаточное условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.3. Ряд маклорена
- •12.5.4. Стандартные разложения функций в ряд маклорена
- •12.5.5. Примеры приближенных вычислений с помощью рядов
- •13. Ряды фурье
- •13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье
- •13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
- •13.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
10. Элементы теории поля
10.1. Скалярное поле Производная по направлению. Градиент
● Полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлено в соответствие определенное значение некоторой физической величины. Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то – векторным.
Скалярное поле считается заданным, если в каждой его точке Р определена скалярная функция , называемаяфункцией поля. Примерами скалярных полей могут служить поле распространения температуры, поле потенциала в электрическом поле и т. д. Поле называется стационарным, если величина не зависит от времени.
● Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е..
В частности, если скалярное поле плоское, то функция поля U зависит от двух переменных х и у. В этом случае рассматривают линию уровня. Линией уровня функции называется такая линия на плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение, т. е. уравнениеопределяет линии уровня.
● Пусть задана функция поля . Рассмотрим какой-нибудь лучl, выходящий из произвольной точки . Направление этого луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с положительными направлениями осей координат. Еслиl0 – единичный вектор, направлен- ный по лучу l, то его проекциями будут направляющие косинусы: . Пусть точкалежит на лучеl. Расстояние обозначим через ρ. Тогда предел отношения изменения функциик изменению величины ρ, при условииназывается производной от функциипо направлениюl в точке Р и обозначается .
Теорема. Для всякой дифференцируемой функции существует производнаяпо любому направлению, такая что
где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы направления l.
Абсолютная величина производной определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функцииU (возрастание или убывание) в точке Р по направлению луча l. Среди всех направлений можно выделить такое, по которому скорость изменения функции будет наибольшей. Это направление задается вектором, который называютградиентом функции U в точке Р и обозначается или.
Итак, . Модуль градиентав точкеР равен наибольшей скорости изменения скалярного поля:
Таким образом, каждой точке скалярного поля соответствует определенный вектор – градиент функции , характеризующий наибольшую скорость изменения этой функции.
Можно показать, что в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку. Таким образом, градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, значит, его проекция на эту плоскость равна нулю. Следовательно,производная по направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.
10.2. Векторное поле
● Векторным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана векторная величина (силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др.).
Пусть векторное поле образовано вектором
● Потоком вектора а через поверхность σ называется поверхно-стный интеграл вида В случае, когда векторное полепредставляет поле скоростей текущей жидкости, то величина потокаK определяет количество жидкости, протекающее через поверхность σ.
● Дивергенция или расходимость векторного поля а в любой его точке М выражается формулой:
где значения частных производных берутся в точке М.
● Теорема Остроградского–Гаусса
Поток вектора а изнутри замкнутой поверхности σ равен тройному интегралу по объему V, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции векторного поля:
● Работа в силовом поле вдоль кривой находится с помощью криволинейного интеграла по формуле
Если l замкнутый контур, то криволинейный интеграл называется циркуляцией.
● Ротором (вихревым вектором) векторного поля называется вектор
.
Замечание. Удобно координаты вектора находить с помощью специального определителя:
● Теорема Стокса
Поток ротора поля через поверхность σ равен циркуляции вектора по границе l этой поверхности.
.
Замечание. Направление интегрирования по контуру l и направление нормали n к поверхности σ согласованы так, что с конца нормали n обход вдоль контура l виден против хода часовой стрелки.