5.9. Непрерывность функции. Точки разрыва

● Точка является точкой непрерывности функции если существуют конечные пределы справа и слева, и эти пределы равны значению функции в этой точке, т. е.

Если же хотя бы одно равенство нарушено, тогда точка являетсяточкой разрыва функции.

● Функция называетсянепрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Замечание. Все элементарные функции непрерывны в области опреде-ления.

Классификация точек разрыва

●

Рис. 29, а

Если , то это означает, что функцияимеет конечный предел справаи конечный предел слева, эти пределы равны, но значение функции в точкене существует (эта точка на кривой«выколота»). В этом случае говорят, что функция в точкеимеет устранимый разрыв (можно эту точку в кривую «вставить») (рис. 29, а).

●

Рис. 29, б

Если конечные пределы функции в точкеи справа, и слева существуют, но они не равны(функция в этой точке делает «скачок»), то точка в этом случаеназывается точкой разрыва I рода (рис. 29, б).

Итак, если существуют односторонние пределы функции в точке, но, то–точка разрыва I рода.

●

Рис. 29, в

Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точкене существует (равен), то называется точкой разрыва II рода. Если в точке функцияне имеет конечных пределов ни справа, ни слева, то точкатакже являетсяточкой разрыва II рода (рис. 29, в).

5.10. Асимптоты

Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние от точкикривой до прямойL стремится к нулю при неограниченном удалении указанной точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении к бесконечности хотя бы одной из координат точки данной кривой).

Прямаяявляетсявертикальной асимптотой кривой , если.

Прямая является наклонной асимптотой кривой , если существуют пределы:

.

Следствия.

1. Если , то прямаяявляется горизонтальной асимптотой кривой.

2. Если илине существуют (равны), то нет наклонной асимптоты у кривой.

6. Дифференциальное исчисление функции одной и двух переменных

6.1. Правила дифференцирования

Если функции идифференцируемы в точкех, а то

1) 2)3)4)5)

6) 7)где8)

9) 10) Еслиито

11) 12)

6.2. Таблица производных

	Функция	Производная		Функция	Производная
1	х	1	17	sh x	ch x
2			18	ch x	sh x
3			19	th x
4			20	cth x
5			21
6	ln x		22
7			23
8			24
9			25
10			26
11			27
12			28
13			29
14			30
15			31
16	arcctg x		32