- •9. Понятие интегралов на поверхности
- •9.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •9.2. Понятие о двусторонней поверхности
- •9.3. Поверхностный интеграл второго рода
- •10. Элементы теории поля
- •10.1. Скалярное поле Производная по направлению. Градиент
- •10.2. Векторное поле
- •Свойства простейших векторных полей
- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Виды и способы решения дифференциальных уравнений
- •12. Числовые и функциональные ряды
- •12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами
- •12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)
- •12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •12.3. Числовые ряды с комплексными членами
- •12.4. Функциональные и степенные ряды
- •12.4.1. Область сходимости. Интервал сходимости
- •12.4.2. Равномерная и неравномерная сходимость
- •Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда
- •12.5. Ряды Тейлора
- •12.5.1. Необходимое условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.2. Достаточное условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.3. Ряд маклорена
- •12.5.4. Стандартные разложения функций в ряд маклорена
- •12.5.5. Примеры приближенных вычислений с помощью рядов
- •13. Ряды фурье
- •13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье
- •13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
- •13.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
12. Числовые и функциональные ряды
12.1. Виды рядов
1) Если гдето
–
называется числовым рядом.
2) Если гдето–функциональный ряд.
3) Если где– фиксированная точка;
–числа, то –степенной ряд.
4) В случае, когда степенной ряд принимает вид
12.2. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов
Числовые
ряды
где
Ряды
положительных членов
Знакопеременные
ряды
где
среди Un
есть как положительные, так и отрицательные
члены
где
Знакочередующие
ряды
12.2.1. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЛЮБОГО ЧИСЛОВОГО РЯДА
Необходимый признак. Если ряд сходится, то
Следствие. Нарушение необходимого признака является достаточным признаком расходимости числового ряда:
если то ряд расходится.
Достаточный признак. Если то ряд сходится.
12.2.2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
1. Признаки сравнения. Пусть исследуемый ряд (неиз-вестного поведения в смысле сходимости), а– известный ряд.
1.1. Если существует то оба ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.
1.2. Если начиная с некоторого номераn и ряд (2) сходящийся, то сходится и ряд (1).
1.3. Если, начиная с некоторого номера n, и ряд (2) расходящийся, то расходится и ряд (1).
2. Признак Даламбера.
Если существует и если
3. Интегральный признак Коши.
Если и– функция монотонно убывающая, то рядсходится или расходится вместе с несобственным интегралом
4. Радикальный признак Коши.
Если существует то
12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами
1. – расходящийсягармонический ряд;
2. –расходящийся рядтипа гармонического,
где р – действительные числа;
3. –ряд Дирихле: при сходится, прирасходится.
12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Пусть среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные и– ряд модулей (ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда). Тогда, еслиряд модулей сходится, то сходится и данный знакопеременный ряд.
12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)
Если последовательность членов знакочередующегося ряда убывающая: и еслитознакочередующийся ряд –сходится.
Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда по абсолютной величине меньше первого члена. Остаток ряда по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена.
Оценка остатка знакочередующегося ряда. Если в сходящемся знакочередующемся ряде ограничиться n первыми членами, то остаток будет по модулю меньше первого отбрасываемого члена. Следовательно, абсолютная величина погрешности, когда сумму сходящегося знакочередующегося ряда заменяютn-ой частичной суммой, не превосходит модуля того члена ряда, начиная с которого отбрасывают:
12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
1. Если ряд модулей знакопеременного ряда сходится, то данный знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
2. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.