13. Ряды фурье

Тригонометрический ряд (1),

коэффициенты которого определяются формулами

(2)

называется рядом Фурье, а числа – коэффициентами Фурье функции. Ряд Фурье, построенный для функции, обозначается так:

.

● Большое практическое значение имеет следующая задача: по заданной периодической функции с периодомнайти всюду сходящийся ряд (1), имеющий сумму . Эта задача называется разложением данной функциив ряд Фурье.

●Если отрезок можно разбить внутренними точкамитак, что на каждом из полученных промежуткахибудут непре-

рывны и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и

в концевых точках этих промежутков, то такая функция называется кусочно-дифференцируемой. Кусочно-дифференцируемая на отрезкефункция может быть на нем непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого ряда.

13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье

Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке, и имеет сумму

.

На концах отрезка сумма ряда Фурье определяется формулой:

.

Кроме того, если – точка непрерывности, то

.

Пример 18. Разложить в ряд Фурье периодическую и заданную в интервале функциюПостроить график функции и второй частичной суммыее разложения в ряд Фурье.

Решение. Данная функция имеет одну точку разрыва первого рода при , а точки экстремума отсутствуют. Следовательно, данная функцияудовлетворяет условиям Дирихле и может быть представлена рядом Фурье.

Интервал симметричен относительно начала координат и на этом интервале, следовательно, данная функция нечетная и ее ряд Фурье не содержит косинусов, так как коэффициенты Фурье.

Найдем коэффициенты :

Разложение данной функции в ряд Фурье запишется следующим образом:

Далее построим график данной функции (рис. 46,а).

Рис. 46, а

Для того чтобы выяснить, каким образом график функции приближается графиками последовательных частичных сумм полученного ряда, изобразим на рисунке графика самой функции последовательные гармоники ряда (пунктиром) и график 1-й и 2-й частичных сумм (рис. 46, б). Как видно из этого рисунка, чем больше последовательных гармоник ряда включает в себя частичная сумма, тем ближе график частичной суммы подходит к графику данной функции.

13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке

,

где ,

.

Замечание. Условия сходимости ряда Фурье для функции , заданной на отрезкеаналогичны условиям разложения функции в ряд Фурье на отрезке.

Пример 19. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале функцию:

Решение. Вопрос о четности или нечетности данной функции не рассматриваем, так как она задана на интервале, не симметричном относительно начала координат. Длина указанного интервала (0,4) равна . Определим коэффициенты Фурье для этой функции:

Ряд Фурье данной функции имеет вид:

Полученное разложение справедливо во всей области определения заданной функции, причем в интервале (0,2) сумма ряда а в интервале (2,4) сумма рядатак как во всех точках непрерывности сумма ряда равна исходной функции. В точке разрывагде функция не определена, сумма ряда