1.3. Алгебраические выражения и действия над ними

В алгебре изучаются действия с выражениями, содержащими как числовые, так и буквенные значения. При этом буквам может при необходимости придаваться конкретное численное значение.

• Одночленом называется произведение нескольких сомножителей, являющихся числами или буквами. Отдельные числа и буквы также считаются одночленами. Например, 6, у – одночлены.

• Многочленом называется сумма одночленов. Например, – многочлены.

Основу всех алгебраических операций представляют следующие законы сложения и умножения:

Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются следующие приемы.

• Приведение подобных членов. Если несколько слагаемых имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты складываются, а буквенная часть сохраняется. Например,

• Вынесение множителя за скобки производится на основе распределительного закона и правил действий со степенями.

Пример 1.

Раскрытие скобок также производится с помощью распределительного закона. Необходимо помнить, что если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии меняются знаки всех слагаемых.

Пример 2.

Пример 3.

• Деление многочленов. Для деления многочлена, зависящего от одной переменной х, на аналогичный многочлен меньшей степени используют следующую процедуру деления столбиком:

1) расположим слагаемые в многочленах в порядке убывания степени неизвестной; 2) разделим первое слагаемое делимого многочлена на первое слагаемое делителя и результат напишем в частное; 3) умножим результат на делитель и вычтем его из делимого; 4) произведем с полученным при вычитании многочленом действия аналогичные пунктам 2) и 3). Будем повторять эту операцию, пока при вычитании не получится либо ноль, либо многочлен степени меньшей, чем у делителя. Этот многочлен называется остатком.

П ример 4. Выполнить деление многочлена на многочлен

3

–

х⁴ – 7х³ + 12х² – 5х + 3 х² – 2х + 3

3 х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – х + 1

– х³ + 3х² – 5х + 3

– х³ + 2х² – 3х

–

х² – 2х + 3

х² – 2х + 3

0

Следовательно,

1.4. Многочлены и их корни

• Многочленом степени n называется всякое выражение вида:

где и – старший коэффициент, – свободный член.

Обычно многочлен n-ой степени обозначается Тогда, например, выражение – многочлен второй степени, – многочлен первой степени, а всякое, отличное от нуля, вещественное число А принято считать многочленом нулевой степени.

• Число х₀ называют корнем многочлена , если В этом случае многочлен без остатка делится на

1.4.1. Квадратный трехчлен

Квадратный трехчлен – это многочлен второй степени, который записывается так: где

Графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 4, а) или вниз при (рис. 4, б).

К орни квадратно-го трехчлена есть абсциссы и точек пе-ресечения параболы с осью 0х и находятся по формуле:

где – дискриминант квадратного трехчлена.

• – два действительных различных корня, тогда

• – два действительных равных корня, тогда

• нет действительных корней и нет точек пересечения парабол с осью 0х. Считая, что получим два сопряженных комплексных корня где α и β – действительные числа.

Примеры. Найти корни квадратного трехчлена и разложить его на мно-жители.

1.

2.

3.

● Теорема Виета

Если и – действительные корни уравнения где то и .

● Квадратный трехчлен можно записать в следующем виде:

Такое преобразование называется выделением полного квадрата.

Например, 1.

2.

3.