1.2.3. Комплексные числа
• Действие
извлечения корня квадратного из
отрицательного действительного числа
на множестве действительных чисел
невозможно. В связи с этим формально
вводится понятие мнимой
единицы i
как числа, квадрат которого дает –1, т.
е.
.
• Комплексными
называются числа
вида
где α и β – действительные числа; i
– мнимая единица. Число α называется
действительной
частью комплексного числа а;
βi
– его мнимой
частью; β – коэффициентом при мнимой
части.
Обозначения:
.
Если
,
то
(действительные числа – частный случай
комплексных чисел); если
,
то
(«чисто мнимые» числа).
• Действительные
части комплексных чисел (действительные
числа) изображаются точками оси абсцисс
(действительная ось). Чисто мнимые числа
(коэффициенты при мнимых частях)
изображаются точками оси ординат (мнимая
ось). Комплексные числа изображаются
точками плоскости: число
изображается точкой с абсциссой α и
ординатой β (рис. 1). Каждому
комплексному
числу соответствует радиус-вектор точки
а.
Гео-
м
етрически
два комплексных числа равны, если равны
изображающие их векторы. Следовательно,
два комплексных числа считаются равными,
если соответственно равны их вещественные
части и коэффициенты при мнимых ча-стях:
если
и
Формы записи комплексных чисел.
Выражение
комплексного числа
называется алгебраической
формой
его записи. Если считать:
(см. рис. 1), то комплексное число
(
одновременно) может быть единственным
образом записано в виде
,
называемом тригонометрической
формой
комплексного числа; r
– длина соответствующего радиус-вектора
– называется модулем
комплексного числа
и обозначается
угол φ – аргумент
комплексного числа
– обозначается
.
• Переход
от алгебраической формы
комплексного числа к его тригонометрической
форме
осуществляется по формулам:
Замечание.
Число нуль
имеет модуль, равный нулю; его аргумент
– величина неопределяемая.
Показательная
форма.
Часто применяется следующая форма
записи комплексного числа а
с модулем r
и аргументом φ:
называемая показательной формой его
записи. Так, например, число
,
модуль которого
и аргумент
,
можно записать так:
алгебраическая
форма: 
,
тригонометрическая
форма: 
,
показательная
форма: 
.
Алгебраические действия над комплексными числами
1. Сложение и вычитание двух комплексных чисел:
Следствие.
Комплексные числа
и
называются взаимно сопряженными и
обозначаются
,
Следовательно,
для двух взаимно сопряженных чисел:
сумма
– действительное число,
разность
– чисто мнимое число.
2. Умножение двух комплексных чисел:
•
Произведение взаимно сопряженных чисел
– действительное
число.
• Если
числа
и
заданы в тригонометрической форме, то
• Если числа и заданы в показательной форме, то
3. Деление двух комплексных чисел всегда возможно и осуществляется:
• в алгебраической форме с помощью умножения делимого и делителя на число, взаимно сопряженное делителю:
• в тригонометрической и показательной форме следующим образом:
если
то
или
Примеры 1)
2)
3)
4)
5)
6)
Если комплексное число
то обратное
ему число
4.
Возведение
в n-ю
степень
комплексного числа
если
то
В
частности, имеем:
Если
то
.
5.
Извлечение
корня n-ой
степени как
действие, обратное возведению в степень:
если
и
то
где
Если
принимает значения:
…,
то значения
будут отличаться друг от друга на
При дальнейших
значения
будут повторяться. В геометрической
интерпретации точки, изображающие
,
являются вершинами правильного
n-угольника
с центром в начале координат. На рис. 2
изображены шесть значений
где
Пример
1.
k
= 0, 1, 2, 3.
Получаем четыре значения корня:
1)
2)
3)
4)
Пример
2.
k
= 0, 1.
Получаем
два значения
1)
2)
(рис. 3).
