I. Элементарная математика

1.1. Арифметика

1.1.1. Некоторые основные понятия

• Числа 1, 2, 3, …, появившиеся в результате счета, называются натуральными.

• Число а называется простым, если его делителями являются только единица и само число а. Числа, имеющие другие делители, называются составными.

Число единица рассматривается особо: оно не является ни простым, ни составным.

• Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК):

НОД нескольких натуральных чисел называется самое большое натуральное число, на которое все эти числа делятся. Для нахождения НОД каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наимень-шим (из имеющихся) показателем. Так НОД чисел 60 и 280 равен 2² · 5 = 20.

НОК нескольких натуральных чисел называется самое маленькое натуральное число, которое делится на все эти числа. Для нахождения НОК каждое из этих чисел раскладывают на простые множители и вычисляют произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем. Например, НОК чисел 60 и 280 равен 2³ · 5 · 7 = 840.

• Числа, которые можно записать в виде , где и – целые, назы-ваются рациональными числами или обыкновенными (простыми) дробями.

• Десятичная дробь – частный случай обыкновенной дроби, знаменатель которой есть целая степень числа 10.

1.1.2. Действия над обыкновенными дробями

• Дробь , где и , называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной – в противном случае.

• Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число : .

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

;

Если дроби имеют разные знаменатели, то их надо привести к общему знаменателю, домножая числитель и знаменатель каждой из них на некоторое число. В качестве общего знаменателя удобно взять НОК знаменателей данных дробей. Например,

• Умножение дробей: .

Чтобы дробь умножить на целое число, то удобно целое число записать в виде дроби со знаменателем, равным 1: .

• Деление дробей. Для деления дроби на другую дробь надо ее умножить на дробь, обратную делителю:

Если дробь разделить на целое число то .

Примеры.

• ; • .

1.1.3. Пропорция. Средние величины

Пропорцией называется равенство двух отношений, т. е. выражение вида После приведения обеих дробей в пропорции к общему знаменателю получим равенство числителей: . Следовательно, например,

Среднее арифметическое – это частное от деления суммы n величин на число этих величин: .

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) – это корень n-ой степени из произведения величин

Среднее квадратичное – это квадратный корень из частного от деления суммы квадратов данных величин на число этих величин:

Среднее взвешенное

где – вес величины , .