14. Теория вероятностей. Справочные материалы для решения задач
№№ п/п |
Понятия, обозначения |
Содержание, формула |
1 |
2 |
3 |
1 |
Множество |
Множество – совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества: |
2 |
Дополнение (не ) |
содержит все элементы, не принадлежащие |
3 |
Равенство множеств |
Два множества иравны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов |
4 |
Объединение (сумма) множеств |
Множество состоит из всех элементов, принадлежащих или множеству, или множеству, или и иодновременно |
5 |
Пересечение (произведение) множеств |
Множество состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множествуи множеству |
6 |
Разность двух множеств |
состоит из элементов множества , которые не являются элементами множества |
7 |
Эквивалентные множества |
Два множества называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно-однозначное соответствие. |
8 |
Счетные множества |
Бесконечные множества, эквивалентные множеству натуральных чисел |
9 |
Перестановки. Число перестановок |
Соединения, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из элементов, где |
10 |
Размещения. Число размещений |
Соединения из различных элементов по, отличающихся друг от друга составом элементов либо их порядком, называются размещениями. Число размещений изпо |
1 |
2 |
3 |
11 |
Сочетания. Число сочетаний |
Соединения из различных элементов по, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний изпо ; ; |
12 |
Стохастический эксперимент |
Это опыт (испытание), результат которого заранее не определен |
13 |
Достоверное событие |
Результат, который обязательно наступает при осуществлении данного комплекса условий (опыта, эксперимента) называется достоверным событием |
14 |
Случайное событие |
Это событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном испытании |
15 |
Невозможное событие |
Это событие, которое не может произойти при данном комплексе условий |
16 |
Относительная частота события |
Отношение числа экспериментов ,завершившихся событием , к общему числу проведенных экспериментов |
17 |
Статистическое определение вероятности |
Если при неограниченном увеличении числа экспериментов относительная частота события стремится к некоторому фиксированному числу, то событие стохастически устойчиво и это числоназывают вероятностью события |
18 |
Определение вероятности в классической схеме |
, где – число исходов стохастического эксперимента, благоприятствующих наступлению события,– общее число всех равновозможных исходов |
1 |
2 |
3 |
19 |
Вероятность суммы (объединения), двух событий и | |
20 |
Вероятность произведения двух зависимых событий и |
, где– условная вероятность событияпри условии, что событиес ненулевой вероятностью произошло |
21 |
Независимые события и |
Это такие события, для которых и . Следовательно, |
22 |
Схема Бернулли |
Стохастический эксперимент состоит из последовательности независимых и одинаковых испытаний, в каждом из которых может произойти событие или событие, ему противоположное с вероятностями соответственно равными и |
23 |
Формула Бернулли |
Вероятность того, что в серии из испытаний событие появится ровно раз |
Вероятность того, что при испытаниях появляется не менее и не более раз вычисляется по формуле: | ||
24 |
Формула Пуассона |
При достаточно большом и малом (если (таблица 1) |
(таблица 2) | ||
25 |
Локальная формула Муавра-Лапласа |
При достаточно большом и не слишком малых и , где и;(таблица 3) |
1 |
2 |
3 |
26 |
Интегральная формула Муавра – Лапласа |
, где ;;;(таблица 4) |
27 |
Понятие случайной величины |
Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает числовые значения в зависимости от исходов испытания случайным образом. |
28 |
Понятие дискретной случайной величины (ДСВ ) |
ДСВ – случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, то есть численные значения которой образуют конечное или счетное множество. |
29 |
Закон распределения дискретной случайной величины |
Соответствие между значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения и может быть задан таблично или аналитически (то есть с помощью формул). Если ДСВ принимает конечное множество значенийсоответственно с вероятностями, то ее закон распределения определяется формулами , и Если ДСВ принимает бесконечную последовательность значенийсоответственно с вероятностями, то ее закон распределения определяется формулами , и |
1 |
2 |
3 |
30 |
Понятие непрерывной случайной величины (НСВ ) |
НСВ – случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, то есть множество значений непрерывной случайной величины несчетно. |
31 |
Функция распределения. Свойства функции распределения |
Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяемая равенством , где - вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньше . Функция распределения для ДСВ , которая может принимать значения c соответствующими вероятностями имеет вид, где символозначает, что суммируются вероятноститех значений, которые меньше . Функция является разрывной. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывно дифференцируемой. Вероятность того, что СВХ примет значение из промежутка , равна разности значений ее функции распределения на концах этого полуинтервала: Свойства функции распределения 1. 2. Если , то, то есть функция распределения является неубывающей.
|
1 |
2 |
3 |
31 |
Функция распределения. Свойства функции распределения |
3. Функция в точкенепрерывна слева, то есть ; 4. Если все возможные значения СВХ принад-лежат интервалу , топри, при 5. Если все возможные значения СВХ принад-лежат бесконечному интервалу , то ; Если – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно заданное определенное значение, равна нулю: Отсюда следует, что для непрерывной случайной величины выполняются равенства:
|
32 |
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства функции плотности распределения. |
Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) вероятностей НСВ в точке называют предел отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю: Следовательно, , то есть плотность распределения есть первая производная от функции распределения НСВХ. Вероятность того, что НСВХ примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством |
1 |
2 |
3 |
32 |
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства функции плотности распределения. |
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения Свойства функции плотности 1. Плотность распределения- неотрицательная функция, то есть 2. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку от функции плотности вероятностей равен единице: 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то, так как вне этого промежутка |
33 |
Математическое ожидание |
Для ДСВ равно сумме произведений всех ее значений на соответствующие вероятности: Для НСВ , где – функция плотности распределения вероятности. |
34 |
Свойства математического ожидания |
1), если 2) 3) 4) Если и – независимые случайные величины, то |
1 |
2 |
3 |
35 |
Дисперсия случайной величины |
Разность называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания . Математическое ожидание отклонения равно нулю: Дисперсией, или рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: Следовательно, для любой случайной величины |
36 |
Свойства дисперсии |
1) , 2), 3) Если случайные величины и независимы, то 4) 5) |
37 |
Среднее квадратическое отклонение |
Среднеквадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
|
38 |
Биномиальное распределение |
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемой формулой Бернулли
называется биномиальным. Постоянные ,называются параметрами биномиального распределения.
|
39 |
Распределение Пуассона |
Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона , где – параметр распределения. . |
1 |
2 |
3 |
40 |
Равномерное распределение на интервале |
Если значения случайной величины, которые она принимает в конечном промежутке , возможны в одинаковой степени, то плотность распределения вероятностей этой величины постоянна на данном промежутке и равна нулю вне этого промежутка, то есть Доказано, что ; ; |
41 |
Геометрическое распределение |
Геометрическим называется распределение дискретной случайной величины , определяемое формулой , где , и(Вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем). ; |
42 |
Показательное распределение |
Показательным называется распределение с плотностью вероятностей, определяемой по формуле где - параметр распределения. ; ; Замечание. Если – время безотказной работы элемента,- интенсивность отказов, то случайная величинараспределена по экспоненциальному закону с функцией распределения где .определяет вероятность отказа элемента за время. Вероятность безотказной работы элемента за времяравна. Функция называется функцией надежности. |
1 |
2 |
3 |
43 |
Нормальное распределение |
Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей
Постоянные и называются параметрами нормального распределения. ; ; Вероятность попадания значений нормальной случайной величины в интервале определяется формулой
где – функция Лапласа. ; |
44 |
Нормированное распределение |
Нормированным или стандартным называется такое нормальное распределение непрерывной случайной величины, когда функция плотности вероятностей ; |
45 |
Мода случайной величины |
Модой ДСВ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВ называется то ее значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна. |
46 |
Медиана |
Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше, то есть . Если прямая является осью симметрии кривой распределения , то . |
1 |
2 |
3 |
47 |
Начальные моменты |
Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени этой случайной величины: . Для ДСВ , где . Начальный момент -го порядка НСВ Х с плотностью распределения определяется формулой : , где . |
48 |
Центральные моменты |
Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени отклонения этой величины от ее математического ожидания. Если обозначить , то Для ДСВ , если множество этой величины конечно, а если – счетно, то Для НСВ с плотностью распределения центральный момент -го порядка опре-деляется формулой: |
49 |
Некоторые свойства начальных и центральных моментов |
; ;;
|
1 |
2 |
3 |
50 |
Асимметрия |
Отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднеквадратического отклонения случайной величины называется асимметрией: . Если распределение случайной величины симметрично относительно ее математического ожидания, то асимметрия равна нулю. |
51 |
Эксцесс |
Эксцессом случайной величины называется величина Для нормального распределения . Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной кривой Гаусса, имеют. У более плосковершинных кривых |