1.9. Геометрия

Треугольник

Теорема синусов:

Т еорема косинусов:

Окружность, круг

Длина окружности:

Длина дуги АВ:

Площадь круга:

Другие фигуры

Сфера и шар

– площадь сферы

– объем шара

Цилиндр

– площадь боковой поверхности

– объем цилиндра.

Конус

– площадь боковой поверхности;

– объем конуса.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. Прямая на плоскости. Плоскость

2.1.1. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ

Прямая на плоскости	Плоскость
у М2(х2, у2) М1(х1, у1) b α 0 х a М0(х0, у0) Рис. 5 , где – угловой коэффициент, b – величина отрезка, отсекаемого на оси .	Рис. 6
1) Общее уравнение
2) Уравнение в отрезках
3) Уравнение прямой через заданную точку	Уравнение плоскости через заданную точку
4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :	Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и .
5) Расстояние от заданной точки
до прямой	до плоскости
М0(х0, у0)	М0(х0, у0, z0) d α
2.1.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
прямых	плоскостей
Так как то
Условие параллельности прямых	Условие параллельности плоскостей
Условие перпендикулярности прямых	Условие перпендикулярности плоскостей
Частные случаи расположения
прямых на плоскости	плоскостей
Свободный член прямая проходит через начало координат (рис. 7).	Свободный член плоскость проходит через начало координат.
Рис. 7	Если в уравнении плоскости отсутствуют переменные (коэффициенты при этих переменных равны нулю), то данная плоскость расположена параллельно той оси координат или той координатной плоскости, в которых эти переменные присутствуют. (Что «отсутствует» – тому и параллельна):
прямая параллельна оси ;	● уравнение (не содержит ) определяет плоскость, параллельную оси
прямая параллельна оси ;	● уравнение или (не содержит и ) определяет плоскость, параллельную координатной плоскости
Уравнения осей координат на плоскости: – ось – ось	Уравнения координатных плоскостей: – уравнение плоскости – уравнение плоскости – уравнение плоскости .
2.2. Прямая в пространстве 2.2.1. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рис. 8	(1) Это общее уравнение прямой АВ, как линии пересечения двух плоскостей α и β. Векторы и направляющий вектор параллельны, следовательно: ● (2) – Это каноническое уравнение прямой.

Если обозначить где – параметр, то получим параметрическое уравнение прямой ● (3)

Точки и

В этом случае уравнение (2) можно записать в следующем виде:

● (4)

Полученное уравнение прямой (8) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и .

Замечание. Нормальные векторы и одновременно перпендикулярны направляющему вектору . Следовательно, коллинеарен вектору, равному векторному произведению и . Принимая коэффициент пропорциональности одноименных координатных коллинеарных векторов равным единице, получим формулу для нахождения координат направляющего вектора прямой через координаты нормальных векторов плоскостей, пересекающихся по этой прямой:

.

2.2.2. Взаимное расположение прямых в пространстве

косинус угла между пересекающимися прямыми (рис. 9) можно найти по формуле:

Условие паралелльности прямых:	Условие перпендикулярности прямых:

2.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости

Угол между прямой и пло-скостью (рис. 10)

Условие параллельности прямой и плоскости:	Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Задача. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

1)

2)

3)

Решение

1) Удобно каноническое уравнение прямой свести к общему и решить систему уравнений прямой и плоскости, например, по правилу Крамера:

Найдем главный определитель системы:

система имеет единственное решение.

Далее находим вспомогательные определители:

Согласно правилу Крамера:

Итак, точка пересечения .

2) Запишем уравнение заданной в условии задачи прямой в параметрическом виде: и решим это уравнение совместно с уравнением плоскости.

чего быть не может.

Система не имеет решений и, следовательно, нет точек пересечения прямой и плоскости. В этом случае прямая и плоскость параллельны.

3) Решение проведем аналогично п. 2):

Следовательно, и система имеет бесчисленное множество решений:

где

Задавая t различные числовые значения, получим бесчисленное множество точек, общих для прямой и плоскости. Значит, прямая лежит в плоскости.

2.3. Кривые второго порядка

2.3.1. Эллипс

у

М(х, у)

О

х

F₂

F₁

r₂

r₁

2с

2в

0

пределение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть вели-чина постоянная и равная 2а:

2а

Рис. 11, а

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

где 0 – центр эллипса (рис. 11, а); 2а – большая ось, 2в – малая ось, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₁.

Если центр эллипса расположен в точке , то уравнение эллипса примет вид .

Величины а, в, с связаны следующими соотношениями:

– эксцентриситет эллипса (

Если фокусы эллипса расположены на оси (рис. 11, б), то эллипс вытянут вдоль оси ординат и в этом случае

С ледствие. Если , то частным случаем эллипса является окружность. Уравнение окружности ради-уса R с центром в начале координат: . Уравнение окружности радиу-са R с центром в точке (рис. 11, в):

.

Параметрические уравнения эллипса и окружности:

t – угол, образованный радиус-вектором точки М(х, у) с положительным направлением оси (рис. 12).

2.3.2. Гипербола

О пределение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а: .

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат:

где – действительная ось, – мнимая ось, – расстояние между фокусами (рис. 13, а).

Е сли центр гиперболы располо-жен в точке , то ее уравнение:

.

Величины а, b, с гиперболы свя-заны следующими соотношениями:

– эксцентриситет гиперболы .

Если мнимая ось гиперболы равна 2а и расположена на оси , а действительная ось равна 2в и расположена на оси , то такая гипербола называется сопряженной (рис. 13, б). Каноническое уравнение такой гиперболы: или .

А симптоты сопряженных гипербол совпадают и их уравнения:

Равнобочная гипербола – это гипербола, у которой и ее уравнение Асимптоты равнобочной гиперболы взаимно перпендикулярны. Если асимптоты равнобочной гиперболы принять за оси координат (рис. 13, в), то ее уравнение примет вид .