1.5. Алгебраические дроби

Если и многочлены, то выражение вида называется алгебраической дробью. Алгебраическая дробь называется правильной в том случае, если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, и неправильной, если старшая степень числителя больше или равна старшей степени знаменателя. Всякая неправильная дробь может быть преобразована в сумму некоторого многочлена – целая часть и правильной дроби

Н апример,

т

–

. к. 3х⁴ – 10х³ + 22х² – 24х + 10 х² – 2х + 3

3х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – 4х + 5

–

целая часть

– 4х³ + 13х² – 24х + 10

– 4х³ + 8х² – 12х

–

5х² – 12х + 10

5х² – 10х + 15

остаток

– 2х – 5

● Разложение на простейшие дроби

Всякая правильная несократимая алгебраическая дробь может быть единственным образом преобразована в сумму простейших дробей вида или если При этом могут быть следующие четыре случая.

1. Знаменатель (коэффициент при старшем члене знаменателя удобно сделать равным 1, деля на него числитель и знаменатель дроби) такой, что уравнение имеет только действительные однократные (простые) корни В этом случае разложение ведется по формуле:

где А, В, … С – неопределенные коэффициенты.

2. Корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные. Тогда разложение ведется по формуле:

3. Среди корней знаменателя есть комплексные однократные, т. е. дискриминант для квадратного трехчлена В этом случае разложение ведется следующим образом:

4. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные. Разложение ведется по формуле:

Замечание. Для нахождения неопределенных коэффициентов используют условия равенства двух многочленов:

● два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х;

● если многочлены равны, то равны их числовые значения при одинаковых числовых значениях х.

Примеры. Разложить на простейшие следующие алгебраические дроби.

1.

Если дроби с одинаковыми знаменателями равны, то равны и их числители:

Далее зададим х значения корней знаменателя данной дроби: и подставим в последнее равенство:

Найденные значения А, В, С запишем в простейшие дроби и получим:

2.

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители данной и полученной дроби: .

Итак,

3.

Приведем к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители:

Задаем х значение действительного корня знаменателя данной дроби а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Итак,

1.6. Свойства степеней

1. 7. 13.

2. 8. 14.

3. 9. но

4. 10. 15.

5. 11. 16.

6. если 12. 17.

1.7. Абсолютная величина действительного числа

Свойства абсолютной величины:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. .

7. Если то Следовательно, если и то

8. Если ,то 9. Если , то

1.8. Тригонометрия

1.8.1. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

,

Если – действительные числа, то

гиперболические функции

1.8.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

периодичность	нечетные функции	ограниченность
	четная функция	неограниченность
где