1.2. Расширение понятия о числе

1.2.1. Основные множества чисел и некоторые обозначения

В математике для описания совокупности объектов любой природы используется понятие множества. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, N, … Например, множество, состоящее из трех чисел: 2, 5, и 10 обозначают так: . Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Так, например, . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением этих множеств и обозначается . Например, если , , то .

• Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется их объединением и обозначается . Так, для введенных выше множеств .

В элементарной математике выделяют следующие множества чисел:

– состоит из всех натуральных чисел;

– состоит из всех целых чисел;

, где , – состоит из всех рациональных чисел. Следовательно, все целые и дробные числа (положительные и отрицательные) и нуль называются рациональными. Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

, где – состоит из всех действительных чисел х (рациональных и иррациональных).

Для множеств на числовой оси используются специальные названия и обозначения.

№ п.п.	Название	Обозначение	Множество
1	Отрезок
2	Интервал
3	Полуинтервал
4	Полуинтервал
5	Луч
6	Луч
7	Открытый луч
8	Открытый луч

1.2.2. Действительные числа

• Числовой осью называется прямая, на которой заданы две точки: нуль и единица. Расстояние между этими точками называется единицей масштаба. Слева от нуля располагаются отрицательные числа. Каждому рациональному числу а ставится в соответствие точка числовой оси, имеющая координату а (рациональная точка).

• Однако на числовой оси можно указать точки, не являющиеся рациональными. Например, точка, отстоящая от нуля на расстояние, равное диагонали квадрата со стороной единица, не может быть рациональной. Действительно, если предположить, что где р и q взаимно простые числа, то Следовательно, – четное и делится на 4. Но тогда р и q – четные, а дробь сократимая. Это противоречит предположению, что р и q – взаимно простые и дробь несократимая. Итак, кроме рациональных чисел существуют числа, не являющиеся рациональными. Они называются иррациональными. Иррациональное число можно записать в форме бесконечной десятичной непериодической дроби.

• Рациональные и иррациональные числа в совокупности называются действительными или вещественными. Можно доказать, что каждому действительному числу соответствует только одна точка числовой оси, и каждой точке числовой оси соответствует только одно действительное число.

• Действительные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами. Например, 0, 1, – алгебраические числа.

Неалгебраические числа называются трансцендентными. Примеры трансцендентных чисел: логарифмы целых чисел.