32. Связь решения матричной игры с задачей линейного программирования для первого (второго) игрока.

Задачу антагонистической игры можно свести к двум взаимнодвойственным задачам линейного программирования

Пусть дана игровая матрица А’, для которой существуют элементы меньшие или равные нулю.

Нужно перейти к матрице А=А’+сS, где ().

Получаем новую матрицу, в которой все элементы уже положительны. Чтобы решить игру нужно найти .

Для матрицы А нужно составить пару взаимнодвойственных задач:

Прямая	Двойственная
Y-? , если	X-? , если

Оптимальный вектор для матрицы А равен оптимальному вектору для матрицы А’ (т.е. оптимальные стратегии совпадают). Цена игры для матрицы А’ равна цене игры для матрицы А минус то число, которое мы прибавили вначале.

.

33. Понятие графа. Основные определения.

Задача сетевого планирования решается с помощью построения графа.

Граф – совокупность точек и связей между ними.

Точки называются вершинами (кружочки), а связи – дугами (стрелочки).

Если на каждой дуге указывается направление, то граф называется ориентированным.

Путь в графе – такая последовательность дуг, когда начало последующей дуги совпадает с концом предыдущей.

Начальная вершина – вершина, в которую не входит ни одна дуга.

Конечная вершина – вершина, из которой не выходит ни одна дуга.

34. Понятие о сетевом планировании. Построение сети, соответствующей данному проекту.

Сетевая модель представляет план выполнения некоторого комплекса работ.

Весь проект разбивается на несколько операций (работ).

Для построения сети, соответствующей данному проекту строят таблицу, в которой разбивают проект на отдельные работы и планируют время выполнения каждой:

№ работы

Работа, которая следует за данной

Время выполнения работы

Некоторые работы могут выполняться одновременно друг с другом, а для некоторых работ требуется строгое соблюдение очередности (например, мы не можем построить крышу дома, пока н возвели фундамент и стены). Для этого и составляется второй столбик таблицы.

После заполнения таблицы нужно определить начальные работы. Это те работы, которые не следуют за другими.

Сначала рисуем кружок (начальную вершину). Из нее выходят дуги, соответствующие начальным работам. Каждая дуга приводит в последующую вершину (событие – результат выполненной работы). Далее в соответствии с таблицей строятся следующие дуги-работы, которые приводят в следующие вершины. Так продолжается, пока мы не придем в конечную вершину (конечный результат проекта, все работы завершены).

На каждой дуге проставляется запланированная продолжительность соответствующей работы.

35. Сетевой проект. Резервы времени событий (вершин) и работ (ребер). Критическое время выполнения проекта. Критический путь.

Для выполнения проекта нам необходимо знать, сколько времени отнимет его реализация, можем ли мы как-то сэкономить время или наоборот, есть ли у нас возможность сделать перерыв после выполнения отдельных работ.

Для этого нужно определить критический путь. Критический путь – это критическое время выполнения всех работ. То есть, это минимально возможное время, за которое можно выполнить весь проект.

Для его определения на уже построенном графе каждую вершину (каждый кружок) делим на 4 части. В верхней части проставляем номер вершины. Слева указывается раннее время наступления , справа – позднее время наступления . В нижней части – резерв времени.

Раннее время наступления – самый ранний момент времени, к которому могут быть завершены все работы, входящие в данную вершину.

Позднее время наступления – самый поздний момент времени, к которому можно начать все работы, выходящие из этой вершины, чтобы можно было успеть выполнить весь проект за критическое время.

Резерв времени – разность между поздним и ранним временем. Показывает, какой перерыв мы можем сделать, прежде чем приступить к следующей работе и при этом успеть выполнить все в срок.

1. Сначала проставляется раннее время. В первом кружке ставится 0, в остальных определяется как максимум раннего времени предыдущего события и времени выполнения входящих в данную вершину работ.

То есть, на дугах при построении графа мы указывали планируемое время выполнения работы. Если в следующую вершину входит не одна работа, то мы должны успеть выполнить их все. Кроме того, предыдущее событие тоже требовало от нас каких-то затрат времени.

Поэтому мы прибавляем к тому времени, которое мы уже запланировали потратить, максимальное время, которое мы можем потратить для достижения этого события.

Так делаем для всех событий, соблюдая их очередность.

2. Проставляем позднее время.

В последнем кружочке ставим то же число, что и время раннее для этой вершины. Это время является критическим – т.е. минимально возможное время, за которое возможно выполнить все работы.

Далее начинаем двигаться в обратном направлении: для каждой вершины определяется минимум от позднего времени для предыдущего события и времени выполнения работ, выходящих из данной вершины.

В начальной вершине должен получится 0.

Далее проставляем резерв времени: разница между поздним и ранним временем для каждой вершины.

Полный резерв времени работы:

Показывает максимальное время, на которое можно задержать начало или увеличить продолжительность работы без изменения общего срока выполнения работ.

Свободный резерв времени работы:

Показывает максимальное время, на которое можно отстрочить начало или увеличить продолжительность работы при условии, что все события наступают в свои ранние сроки.

Так же его можно найти как разницу между полным резервом времени и резервом времени, записанным в кружочке.

Критический путь – путь, длина которого равна критическому времени выполнения проекта. Вдоль критического пути все резервы времени равны 0 (раннее время равно позднему времени в каждой вершине).