7.Приложения

Приложение № 1. Пример выполнения

Индивидуального задания

Вариант № 0

1. По данным неколлинеарным векторам ипостроить векторы:;;;.

2. Дано:,,,.

Найти: _.

3. Дано:,,.

Найти:

;

;

;

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Площадь треугольника, построенного на векторах ,.

4. Даны векторы:,.

Найти:

Координаты и модуль вектора;

Направляющие косинусы вектора;

;

;

Угол между векторами и;

6⁰.Площадь треугольника, построенного на векторах и;

5. Даны вершины треугольника:,,.

Сделать схематический рисунок и найти:

;

Разложение по ортам вектора;

Направляющие косинусы вектора;

Периметр треугольника ;

Медиану ;

Угол при вершине.

7⁰.Площадь треугольника

Высоту.

6. Сила приложена к точкеНайти момент этой силы относительно начала координат.

6^*. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора, причем

Решение задачи индивидуального задания

1. По данным неколлинеарным векторамипостроить векторы:;;;.

Даны два вектора:

Решение.

1⁰.2⁰.

3⁰.

4⁰.

2. Дано:,,,.

Найти _.

Решение. Воспользуемся свойствами аддитивности и однородности проекций и выражением проекции чрез ее модуль и угол между вектором и осью.

3. Дано:,,.

Найти:

1⁰.Скалярное произведение:.

Решение.В соответствии с определением понятия скалярного произведения двух векторов получаем:

Ответ.

2⁰.Скалярное произведение двучленов:

.

Решение.Выполним действия по правилам преобразования алгебраических многочленов:

Ответ.

3⁰.Модуль разности векторов:.

Решение.Воспользуемся формулой вычисления модуля вектора:

Ответ.

4⁰.Площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Решение.Площадь параллелограмма определяется формулой:

Ответ.

Площадь треугольника, построенного на векторах ,.

Решение.Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине модуля векторного произведения данных векторов. Вычислим векторное произведение векторов и по правилу преобразования многочленов с учетом свойства «антикоммутативности»:

Ответ.

4. Даны векторы: ,.

Найти:

Координаты и модуль вектора .

Решение.Введем обозначение:, и вычислим координаты вектораи его модуль:

Модуль вектора

Ответ:искомые координаты:

искомый модуль:

Направляющие косинусы вектора .

Решение. Введем обозначение:и вычислим координаты и модуль вектора:

Вычислим направляющие косинусы вектора

:

Найдем сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ.Направляющие косинусы вектора равны:

Скалярное произведение двучленов:

Решение. Здесь можно пойти двумя путями:

• перемножить двучлены, а затем представить векторы в координатной форме и выполнить действия;

• сразу же представить векторы в координатной форме, и далее все действия осуществлять в этой форме.

Второй путь, с нашей точки зрения, более рационален.

=

=20–40+32=12.

Ответ.

Проекцию вектора на вектор

Решение.

Ответ.

Угол между векторами и.

Решение. Найдем косинус угла между данными векторами и:

Ответ.

6⁰.Площадь треугольника, построенного на векторах и.

Решение.Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Вычислим это произведение:

Найдем модуль векторного произведения:

Отсюда

Ответ.

5. Даны вершины треугольника: ,,(рис. 7.1).

Найти:

Длину стороны

Решение.Для определения длины сторонырассмотрим вектор, найдем координаты и модуль этого вектора:

Ответ.

Разложение по ортам вектора.

Решение.Определим координаты вектора, а затем его разложение по ортам:

Ответ.

Направляющие косинусы вектора.

Решение.Найдем координаты и модуль вектора:

Вычислим направляющие косинусы вектора :

Найдем сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ.Направляющие косинусы вектораравны:

Периметр треугольника

Решение.Длины сторониизвестны,,Длину сторонывычислим по известным координатам вектора:

Периметр треугольника равен:

Ответ.

Медиану .

Решение.Определим координаты точкиПоскольку точкаявляется серединой отрезка, то ее координаты вычислим по формулам:

Точки имеет координаты:.

Вычислим координаты вектора :

и наконец, найдем медиану

Ответ.Медиана

6⁰. Угол при вершине .

Решение.Уголопределим как угол между векторамии.

Ответ.Угол между векторамииравен:

7⁰.Площадь треугольника

Решение.Площадьравна половине модуля векторного произведения каких-либо векторов, образующих этот треугольник, например, векторови(рис 7.1).

Вычислим векторное произведение этих векторов, используя формулу (6.7):

Координаты векторов инам известны:

Вычислим их векторное произведение:

Найдем площадь треугольника:

Ответ.

8⁰.Высоту

Решение.Площадьравна половине произведения основания на высоту. В данном треугольникеAC –основание, BE –высота (рис. 7.1). Следовательно,

Отсюда получаем:

Ответ.

6. Сила приложена к точкеНайти момент этой силы относительно начала координат.

Решение.Моментом силы относительно начала координат является вектор, равный векторному произведению радиус-вектораточкина вектор силы Координаты радиус-векторасовпадают с координатами точки, поэтомуОтсюда следует:

Ответ.

6^*. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора, причем

Решение.Работасилы на перемещении равна скалярному произведению векторов и Найдем координаты вектора

Ответ.