4.6. Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим задачу.Даны две точки ии скалярНайти: координаты точки, делящей отрезокAB в отношении (рис. 4.5)

Решением задачи являются следующие формулы:

(4.10)

Если точка делит отрезокна равные части, то, и формулы (4.10) примут вид:

(4.10^*)

Координаты середины отрезка равны полу суммам соответствующих координат его концов.

В заключение рассмотрим задачу, в которой примерены формулы настоящего параграфа.

Задача 4.4.Найти длину медианы и координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если его вершины имеют следующие координаты:

(рис. 4.6).

Решение.Найдем координатыD– середины стороныABпо формулам (4.10^*):

Таким образом, точка имеет следующие координаты:

Найдем вектор и его модуль:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершин треугольника). На рис. 4.6 – это точка М. Определим координаты точкиМ,делящей отрезокCDв отношенииКоординаты точкиM вычисляем по формулам (4.10).

Точка M имеет следующие координаты:

Ответ.

5. Скалярное произведение двух векторов

5.1. Основные определения, механический смысл скалярного произведения

Определение 5.1. Скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторовиобозначается символомили, угол между этими векторами обозначается символамиили. Величина скалярного произведение векторовивыражается формулой:

(5.1)

Раскроем механический смысл скалярного произведения двух векторов.

Пусть материальная точка под действием силыперемещается прямолинейно из точкиА в точкуВ(рис 5.1). Обозначим черезугол между силойи вектором перемещенияТогда работа силына перемещениивыразим формулой:

Но выражение в правой части равенства есть ни что иное, как скалярное произведение векторов и,

Следовательно, работа силы на перемещении равна скалярному произведению векторов и .

5.2. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей одного из них на проекцию другого вектора на этот вектор:

(5.2)

Это свойство используется для вычисления величины проекции одного вектора на другой в случае, когда векторы заданы своими координатами (об этом разговор позже).

Коммутативный (переместительный) закон:

(5.3)

Ассоциативный (сочетательный) закон относительно числового множителя:

. (5.4)

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(5.5)

Прежде чем формулировать следующее свойство, определим важное понятие.

Определение 5.2. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя. Скалярный квадрат вектора обозначается символом

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

(5.6)

Из равенства (5.6) следует:

(5.6^*)

Замечание. Из свойств скалярного умножения векторов следует, что преобразования векторных одночленов и многочленов относительно сложения, вычитания и умножения (в том числе и скалярного) можно производить по правилам преобразований алгебраических многочленов.

Покажем это на примере решения задачи.

Задача 5.1.Дано:

Найти: и.

Решение.По формуле (5.6^*) получаем:

;

По формуле (5.5) имеем:

=

Ответ.

Для того, чтобы векторы и, были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Скалярное произведение ненулевых векторов иположительно при и отрицательно при