3. Проекция вектора на ось

3.1. Основные определения

Определение 3.1 Проекцией точки на прямую или плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из данной точки на прямую или плоскость (на рис. 3.1 точка– проекция точкиA, точка– проекция точкиB).

Определение 3.2. Составляющей (компонентой) вектора по прямой (плоскости) называется вектор, лежащий на данной прямой (плоскости), начало и конец которого совпадают, соответственно, с проекциями начала и конца этого вектора (на рис. 3.1 вектор– составляющая вектора).

Определение 3.3. Проекцией вектора на ось называется скаляр, равный модулю составляющей вектора по этой оси, взятому со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Проекция вектора на осьобозначается символом:

или.

На рис. 3.2 (а) проекция векторана осьположительна, т.к. составляющая данного вектора по осисовпадает по направлению с осью,.

На рис. 3.2 (б) проекция равна нулю, т.к. начало и конец составляющей вектора совпадают,.

На рис. 3.2 (в) проекция вектора отрицательна, т.к. составляющая вектора направлена противоположно направлению оси,.

3.2. Свойства проекции вектора на ось

Проекция вектора на ось не изменится при параллельном переносе вектора.

Аддитивность проекции. Проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций данных векторов на эту ось.

. (3.1)

.Однородность проекции. Скалярный множитель можно вынести за знак проекции вектора на ось,

. (3.2)

Следующему свойству предпошлем определение угла между вектором и осью.

Определение 3.4.Углом между вектором и осью называется угол между вектором и положительным направлением оси, отсчитываемый в направлении от оси против движения часовой стрелки(рис. 3.4).

.Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между вектором и осью,(рис. 3.3).

(3.3)

Рис. 3.3

Проиллюстрируем применение свойств проекции вектора на ось к решению задачи.

Задача 3.1.Дано:,,,.

Найти: _.

Решение. Применим свойства аддитивности и однородности проекции вектора на ось и формулу (3.2).

Ответ.

Эффективное практическое применение векторов, в том числе и с использованием компьютеров, связано с использованием пространственной системы координат.

4. Декартова прямоугольная система координат в пространстве

4.1. Общие определения, координаты вектора

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (начало системы координат) и одинаковой для всех осей масштабной единицей (рис. 4.1). Оси носят название:

• Ох– ось абсцисс;

• Оy– ось ординат;

• Оz– ось аппликат.

Плоскости xОy,xОz,yOzназываются координатными плоскостями.

Единичные векторы ,, сонаправленные с осямиOx,Oy,Oz, носят названиеортов осей.

Если орты образуют правую тройку, то система координат называется правой, если левую, то – левой.

Мы будем работать только с правой системой координат (рис. 4.1).

Определим понятие координат вектора. Рассмотрим произвольный вектор . Приведем его к началу координат, точке(рис. 4.1). Спроектируем этот вектор на координатные оси. Составляющими векторапо координатным осям являются векторы:, а проекциями на координатные оси – числа. Эти проекции носят названия координатами вектора.

Определение 4.1. Координатами вектора называются его проекциина координатные оси. При этом пишут:

(4.1)

где Очевидно, координаты нулевого вектора равны 0:

(4.2)