5.3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Свойства ипозволяют получить скалярные векторов– ортов координатных осей:

Например, (по свойству 5⁰);(по свойству 6⁰), так какАналогично обосновываются остальные соотношения. Результаты сведем в таблицу 5.1. В ней элементы главной диагонали – скалярные квадраты ортов, остальные элементы – парные произведения ортов. Таблица (табл. 5.1) скалярного умножения ортов представляет единичную матрицу третьего порядка.

Таблица 5.1

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Получим формулу скалярного произведения двух векторов в координатной форме.

Имеем два вектора:

,

Перемножим их скалярно:

Учитывая данные таблицы, получаем:

(5.7)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Из свойства скалярного произведения векторов и формулы (5.7) получаем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме:

(5.8)

Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Рассмотрим две задачи, в которых используется формула (5.7).

Задача 5.2.Найти проекцию вектора на векторесли

Решение. По свойству 1⁰:

Ответ.

Задача 5.3.Даны векторы:

Найтискалярноепроизведениевекторныхдвучленов:

Решение. Решение задачи можно выполнить двумя способами:

• перемножить двучлены, а затем представить векторы в координатной форме и выполнить действия;

• сразу же представить векторы в координатной форме, и далее все действия осуществлять в этой форме.

1⁰. Первый способ.

2⁰. Второй способ.

Второй способ является, с нашей точки зрения, более рациональным.

Ответ.

Задача 5.4. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора, причем

Решение.Работасилы на перемещении равна скалярному произведению векторов и Найдем координаты вектора

Ответ.

5.4. Угол между двумя векторами

Для получения формулы угла между двумя векторами воспользуемся выражением скалярного произведения двух векторов:

отсюда получаем:

(5.9)

Подставляя в правую часть равенства (5.9) выражения ив координатной форме, получаем формулу угла между двумя векторами в координатной форме:

(5.10)

отсюда

(5.11)

Формула (5.11) и есть искомая формула угла между двумя векторами.

Рассмотрим пример применения полученной формулы.

Задача 5.5.Найти угол треугольника,(рис. 5.2), вершины которого имеют координаты:

Решение.Будем считать стороныивекторамии. Угол между этими векторами и есть уголтреугольника Найдем этот угол. Отметим, чтовекторы всегда должны иметь началом вершину того угла, величину которого мы определяем.В противном случае есть опасность определить не искомый угол, а смежный с ним угол.

Определим координаты векторов и:

По формулам (5.9) – (5.11) получаем:

Ответ.

6. Векторное произведение двух векторов

6.1. Основные определения, механический смысл векторного произведения

Определение 6.1. Векторным произведением векторов называется вектор, удовлетворяющий трем условиям:

Модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, как на сторонах(рис. 6.1);

Вектор перпендикулярен векторам, а значит, и плоскости этого параллелограмма;

Векторы иобразуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов иобозначается символом:

(6.1)

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух векторов.

(6.2)

Операция векторного умножения векторов находит широкие практические приложения.

В механике, например, важное понятие момента силы относительно точки определяется как векторное произведение двух векторов.

Определение 6.2. Моментом силы относительно точки О пространства называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектораточки приложения А силы, проведенного из точки О, на вектор силы(рис. 6.2):

(6.3)