
- •Министерство образования и науки рф
- •Введение
- •1. Скалярные и вкторные величины. Основные определения векторной алгебры
- •2. Линейные операции над векторами
- •2.1 Сложение векторов
- •Свойства сложения векторов
- •2.2 Вычитание векторов
- •2.3. Умножение вектора на скаляр
- •Свойства умножения вектора на скаляр
- •3. Проекция вектора на ось
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства проекции вектора на ось
- •4. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
- •4.1. Общие определения, координаты вектора
- •4.2. Разложение вектора по ортам. Модуль вектора
- •4.3. Линейные операции над векторами.
- •4.4. Направляющие косинусы вектора
- •4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца.
- •4.6. Деление отрезка в заданном отношении
- •5. Скалярное произведение двух векторов
- •5.1. Основные определения, механический смысл скалярного произведения
- •5.2. Свойства скалярного произведения
- •5.3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •5.4. Угол между двумя векторами
- •6. Векторное произведение двух векторов
- •6.1. Основные определения, механический смысл векторного произведения
- •6.2. Свойства векторного произведения
- •6.3. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •7.Приложения
- •Приложение № 1. Пример выполнения
- •Индивидуального задания
- •Вариант № 0
- •Решение задачи индивидуального задания
- •Приложение № 2 Индивидуальные задания Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Список рекомендуемой литературы
2. Линейные операции над векторами
К линейным операциям над векторами относятся следующие операции:
сложение векторов;
вычитание векторов;
умножение вектора на скаляр (действительное число).
2.1 Сложение векторов
Определение 2.1. Суммой двух векторов
называется третий вектор
имеющий своим началом начало вектора
,
а концом – конец вектора
при условии, что начало вектора
совпадает с концом вектора
(вектор
приведен к концу вектора
)(рис. 2.1).
Это определение сложения двух векторов носит название «правило треугольника.
Это
правило сложения векторов можно
распространить на любое их количество.
Правило. Чтобы сложить любое
количество векторов, следует расположить
их так, чтобы конец каждого предыдущего
вектора был началом следующего и
построить вектор
началом в начале первого и концом в
конце последнего вектора(рис. 2.2).
Наряду с правилом треугольника сложения векторов существует «правило параллелограмма»
Определение
2.1*. Суммой
векторов
и
является вектор
– вектор-диагональ параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
причем векторы
и
приведены к одному началу(рис. 2.3).
На рис 2.3 этой диагональю является
диагональ
.
По
правилу параллелограмма определяется
равнодействующая двух сил. Для нахождения
равнодействующей сил
и
,
,
приводим эти силы к точке
и строим на них параллелограмм.
Вектор-диагональ
параллелограмма и является равнодействующих
этих сил (рис. 2.4).
Свойства сложения векторов
–коммутативный (переместительный)
закон.
Рис. 2.3 иллюстрирует справедливость
свойства. В самом деле:
‑ассоциативный (сочетательный)
закон.
для любого вектора
.
Для любого вектора
:
.
2.2 Вычитание векторов
Определение 2.2. Разностью
двух векторов
и
называется третий вектор
,
такой, что
.
Покажем, как реализуется на практике сформулированное определение понятия разности.
Задача 2.1. Даны два вектора:
Найти: разность векторов
и
.
Решение.Приведем варианта два решения.
10. Из определения следует: чтобы
построить разность двух векторовэти векторы надо привести к одному
началу, а затем построить вектор с
началом в конце вектора
и концом в конце вектора
(рис. 2.5). Суммой векторов
и
является вектор
.
Обратимся к рис. 2.3. В параллелограмме
OACB диагональOC
является суммой векторови
,
а диагональBA –
разностью этих векторов.
20.
Преобразуем равенство
.
Следовательно, вектор
является суммой вектора
и вектора
,
противоположного вектору
.
Отсюда следует построение искомой
разности векторов (рис. 2.6).
2.3. Умножение вектора на скаляр
Определение
2.3. Произведением вектора
на скаляр
называется вектор
,
удовлетворяющий двум условиям:
модуль вектора
равен произведению модулей числа
и вектора
:
;
вектор
сонаправлен с вектором
при
и направлен противоположно вектору
при
(рис. 2.7).
Свойства умножения вектора на скаляр
.
;
.
;
.
ассоциативный (сочетательный) закон по
отношению к скалярным множителям;
.
– дистрибутивный (распределительный)
закон по отношению к векторному множителю;
.
– дистрибутивный (распределительный)
закон по отношению к числовому множителю.
Замечание. Свойства сложения векторов и умножения вектора на число свидетельствуют о следующем: векторные одночлены и многочлены можно преобразовывать относительно этих операций по правилам преобразования алгебраических одночленов и многочленов.
В заключение рассмотрим пример использования изученных свойств на практике.
Задача 2.2.Даны два вектора
и
:
Найти: вектор
.
Решение.Преобразуем выражение
вектора,
используя свойства сложения векторов
и умножения вектора на скаляр:
Полученную
сумму построим по правилу треугольника
(рис. 2.8).