В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

При x 2 числитель стремится к 4, а знаменатель к 0. Другими словами, приходится делить число, очень близкое к 4, на число, очень близкое к 0. Ясно, что при этом получится очень большое число, которое по абсолютной величине неограничен-

x2 – бесконечно большая функция при x 2 . Конечно, x 2

можно было получить этот результат, используя теорему 3.3. Заметим, что если x 2 0 (слева), то числитель поло-

жителен, знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна

Значит, исходный предел не существует. Поведение функции

Решение. Предел нельзя найти непосредственной подстановкой вместо x величины 2, под знаком предела – отношение двух бесконечно малых функций. В таких случаях говорят, что

теля и знаменателя дроби обращаются в нуль при x = 2, то, со-

81

гласно теореме Безу, можно без остатка разделить эти многочлены на (x – 2):

рациональности в числителе дроби, умножив числитель и зна-

82

Пример 3.9. Вычислить lim 3x2 2 . x x2 x 1

Решение. Имеем неопределённость вида . В подобно-

го рода примерах, чтобы избавиться от неопределённости, числитель и знаменатель делят почленно обычно на старшую сте-

пень многочлена знаменателя, в данном случае на x2 :

Пример 3.10. Вычислить lim x x2 4x .

x

Решение. Под знаком предела разность 2-х положительных бесконечно больших величин, т. е. имеем неопределённость ви-

да . Превратим разность в частное двух функций, ум-

ножив и поделив её на сумму x x2 4x . Получив неопреде-

лённость вида , раскроем её с помощью деления числителя

и знаменателя полученной дроби на старшую степень x:

При вычислении пределов часто используют два замечательных (из-за большого числа их приложений) предела:

83

Число e 2,7182... 2,7 – иррациональное. В математике и её приложениях большое значение имеют функции, связанные с числом e: экспонента ex и натуральный логарифм lnx loge x.

Второй замечательный предел можно записать в виде:

x

связанный с раскрытием неопределенности вида 1 . Чтобы

воспользоваться 2-м замечательным пределом, сделаем преобразования:

t 0 при x . Тогда

84

стности точки x0. Рассмотрим правила сравнения этих функций. Функция x называется бесконечно малой более высо-

ного порядка, если предел их отношения – конечное ненулевое число:

Укажем два важных свойства эквивалентных бесконечно малых, полезных при вычислении пределов.

85

2) Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Следует иметь в виду, что в таблице эквивалентностей аргумент x может быть заменён любой бесконечно малой функцией. Например,

86

(многочлен степени n) есть бесконечно большая функция, экви-

валентная старшему члену a0 xn .

Решение. Действительно,

при x .

Воспользуемся полученным результатом при вычислении предела из примера 3.9:

87

3.1.4 Числовая последовательность и её предел

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел xn , каждое из которых является значением некоторой функции f n натурального аргумента:

строена следующим образом: каждому натуральному числу n

соответствует число n2 , значит xn n2 , последовательность можно записать кратко n2 .

Пример 3.18. В последовательности 1 n , как и в лю-

бой другой, бесконечно много элементов:

1, 1, 1, 1, 1, 1, .... Однако значений она имеет всего два:1, 1. Можно рассматривать даже постоянную последователь-

строго возрастающей. Аналогично определяются убывающие

( xn xn 1 ) и строго убывающие ( xn xn 1 ) последовательно-

сти. Последовательности этих типов объединяются под общим названием монотонных (или строго монотонных).

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество её значений ограничено сверху (снизу). Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Условие ограниченности можно записать в виде:

88

C : n xn C .

Дадим определение конечного предела последовательно-

сти.

Число b называется пределом последовательности xn ,

если для любого (даже очень маленького) положительного числа можно указать такое натуральное число n0 , что при всех n n0 элементы последовательности xn отличаются от b мень-

ше, чем на .

Это определение можно записать в символической форме:

, тем больше n0 .

Последовательность, для которой точка b является преде-

лом, называют сходящейся к этой точке.

Пример 3.19. Показать, что lim 2n 1 2 .