В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова»

В. П. Зайцев

МАТЕМАТИКА

для студентов-заочников

Часть 1

Учебное пособие

Рекомендовано Алтайским государственным техническим университетом им. И.И. Ползунова в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

Изд-во АлтГТУ Барнаул 2015

2.3Варианты заданий контрольной работы по разделу «Элементы векторной алгебры и аналитической

3

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является фундаментальной дисциплиной. Общие цели математического образования в вузе:

ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин;

развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры;

выработать навыки математического исследования прикладных задач.

Предлагаемое учебное пособие предназначено в первую очередь для студентов-заочников технического вуза и содержит материал для изучения дисциплины «Математика» в 1-м семестре. Рассматриваются три раздела математики: линейная алгебра, элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, пределы и непрерывность функции. Каждый раздел содержит необходимые краткие теоретические сведения (определения, формулировки основных теорем, расчётные формулы); большое число примеров, иллюстрирующих теоретический материал; задания контрольной работы (по 25 вариантов).

При выполнении каждой контрольной работы необходимо придерживаться следующих правил:

номер варианта задания контрольной работы каждому студенту определяет преподаватель, обычно это порядковый номер студента в списке учебной группы;

каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, адрес, учебную группу, название дисциплины и раздела дисциплины, по которому выполнена контрольная работа, номер варианта, дату отправки работы в университет;

в работу должны быть включены все задачи, указанные в задании вашего варианта, в порядке возрастания их номеров;

5

условие каждой задачи должно быть полностью переписано из задания перед её решением;

решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

Выполненные контрольные работы необходимы для допуска к зачёту или экзамену. Самостоятельное выполнение контрольных работ – это средство для подготовки к экзамену, для успешного освоения дисциплины.

Многие утверждения и расчётные формулы в данном пособии приводятся лишь с краткими пояснениями. Подробные доказательства можно найти в литературе, список которой приведён в конце пособия.

Если студент испытывает затруднение в освоении теоpетического или пpактического матеpиала, то он может получить консультацию у преподавателя.

Ниже сформулированы контрольные вопросы по каждому изучаемому разделу. Разъяснения используемых символов можно найти в соответствующих разделах пособия. Правильные ответы на эти вопросы студент должен знать, чтобы грамотно выполнить контрольные работы и успешно сдать экзамен.

6

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Раздел 1. Линейная алгебра

1.Что называется матрицей? Как определяются правила сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения 2-х матриц?

2.Что называется определителем 2-го и 3-го порядка?

3.Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента определителя?

4.Каковы основные свойства определителей?

5.Какие способы вычисления определителей больших порядков Вы знаете?

6.Что такое ранг матрицы?

7.Как можно вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований?

8.Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Для каких матриц существует обратная? Как можно найти обратную матрицу?

9.Какие системы линейных уравнений называются совместными, несовместными, определёнными, неопределёнными?

10.Какие системы называются крамеровскими?

11.Как можно найти решение крамеровской системы с помощью обратной матрицы?

12.В чём заключается метод Крамера решения систем линейных уравнений?

13.Какова последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом Гаусса?

14.При каком условии система линейных уравнений будет совместна (теорема Кронекера – Капелли)?

15.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

16.При каком условии система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений?

7

17.Какие неизвестные в неопределённой системе называются свободными, а какие базисными? Что такое общее решение системы линейных уравнений?

18.При каком условии однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей имеет только нулевое решение?

Раздел 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1.Какие векторы называются коллинеарными, равными, компланарными?

2.Как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число?

3.Что называется проекцией вектора на ось? Какими свойствами обладают проекции?

4.Как определяются координаты вектора и точки?

5.Как, зная координаты вектора, определить его длину и направление?

6.Как вычислить координаты вектора по известным координатам его конца и начала?

7.Как найти расстояние между двумя точкам с известными координатами?

8.Каким образом определяются координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении?

9.Что называется скалярным произведением векторов, каковы его свойства?

10.Как вычисляется скалярное произведение в координатной форме?

11.Как найти угол между двумя векторами, заданными в координатной форме?

12.Что называется векторным произведением векторов, каковы его свойства?

13.Как вычисляется векторное произведение в координатной форме?

8

14.Как можно вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах?

15.Что называется смешанным произведением векторов, каковы его свойства?

16.Как вычисляется смешанное произведение в координатной форме?

17.Какие применения смешанного произведения Вы знаете?

18.В каком случае равенство F x, y 0 является уравне-

нием линии L на координатной плоскости OXY?

19.Каким уравнением можно задать любую прямую на координатной плоскости OXY?

20.Как получить уравнение прямой L на плоскости, если известно, что M0 x0 , y0 L, а n A,B L?

21.Как получить уравнение прямой L на плоскости, если

известно, что M0 x0 , y0 L, а s sx , sy L ?

22. Как вычислить расстояние от точки M1 x1 , y1 до пря-

мой L, заданной на плоскости уравнением Ax By C 0 ?

23.Запишите каноническое уравнение эллипса. Каким геометрическим свойством обладают все точки эллипса? Сделайте рисунок.

24.Запишите каноническое уравнение гиперболы. Каким геометрическим свойством обладают все точки гиперболы? Сделайте рисунок.

25.Запишите каноническое уравнение параболы. Каким геометрическим свойством обладают все точки параболы? Сделайте рисунок.

26.Как привести к каноническому виду уравнение 2-й сте-

пени Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0?

27.Каким уравнением можно задать любую плоскость в пространстве OXYZ?

28.Как получить уравнение плоскости P, если известно, что

M0 x0 , y0 , z0 P , а n A,B,C P ?

9

29.Как получить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

30.Как вычислить расстояние от точки M1 x1 , y1 ,z1 до

плоскости P, заданной уравнением Ax By Cz D 0 ?

31. Как получить уравнения прямой L в пространстве, если известно, что M0 x0 , y0 , z0 L, а s sx , sy ,sz L?

32.Как получить уравнения прямой L в пространстве, если известно, что точки M0 x0 , y0 , z0 , M1 x1 , y1 ,z1 L?

33.Как определить угол между прямой и плоскостью по их уравнениям?

Раздел 3. Предел и непрерывность функции

3.Как связаны существование и величина предела функции

вконечной точке с односторонними пределами в этой точке?

4.Какая функция называется бесконечно малой при x x0, каковы её основные свойства?

5.Какая функция называется бесконечно большой при

x x0, каковы её основные свойства?

6.Какова связь между функцией, её пределом и бесконечно малой?

7.В чём заключаются арифметические свойства предела функции?

8.Что такое неопределённость при вычислении пределов? Какие виды неопределённостей Вы знаете?

9.Что называется 1-м замечательным пределом?

10.Что называют 2-м замечательным пределом?

10