В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

т. е. r n, ранг меньше количества переменных. В этом случае неизвестные, соответствующие первым r столбцам, называются базисными, а остальные свободными. Свободным неизвестным можно придавать любые значения, а после этого значения базисных неизвестных находятся однозначно. Чтобы записать общее решение – формулу, охватывающую всё бесконечное множество решений системы – свободным неизвестным придаются буквенные значения.

Получили две ненулевые строки, значит, ранг матрицы равен 2. Так как система имеет 4 неизвестные, то две из них свободные. Неизвестные, соответствующие первым двум столбцам (у нас это x1 ,x2 ) объявляются базисными, а остальные ( x3 ,x4 )

– свободные. Придадим свободным неизвестным произвольные значения: x3 , x4 . Здесь , – любые числа. Последней

Из 2-го уравнения находим x2 3 13x3 5x4 3 13 5 .

Поднимаясь вверх, находим из 1-го уравнения

31

x1 2 x2 5x3 2 3 13 5 5 1 8 5 .

Записываем общее решение системы:

x1 1 8 5 , x2 3 13 5 , x3 , x4 .

Общее решение можно записать в виде матрицы-столбца:

При конкретных значениях и получаются частные

1

3

решения. Например, при 0, 0 имеем: X 0 – част-

0

ное решение.

Анализируя алгоритм Гаусса, можно заметить, что справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.6 (Кронекера-Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Теорема 1.7 (о числе решений).

1)Совместная система имеет единственное решение, если ранг r матрицы системы равен числу неизвестных n, т. е. r n.

2)Совместная система имеет бесконечное множество решений, если r n. В этом случае r неизвестных являются базисными, а остальные n – r – свободными.

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю.

Независимо от того, будет ли число уравнений m системы меньше, равно или больше числа неизвестных n, однородная

Важным является вопрос о том, имеются ли у однородной системы решения, отличные от нулевого.

32

Так как однородная система является частным случаем общей системы, то все результаты, ранее полученные для систем линейных уравнений, будут справедливы и для однородных систем. Заметим, что однородную систему полностью определяет матрица коэффициентов А, поэтому использовать расширенную матрицу не нужно (добавление нулевого столбца ничего не изменит).

Запишем основные результаты для однородной системы. 1) Если r A n (ранг матрицы равен числу неизвестных),

то однородная система имеет единственное решение – нулевое. 2) Если r A n, то однородная система имеет бесконеч-

ное множество решений. Это всегда выполняется, если число уравнений меньше числа неизвестных, т. е. m < n.

Для квадратной матрицы порядка n условие r A n рав-

носильно условию | A| 0 . Поэтому для однородной системы

уравнений с квадратной матрицей получаем: если | A| 0 , то система имеет только нулевое решение, если | A| 0 , то есть и другие решения.

Пример 1.17. Дана однородная линейная система:

x1 2x2 x3 0,

2x1 x2 3x3 0,

3x1 tx2 2x3 0.

Найти значения параметра t, при которых: а) данная система имеет только нулевое решение; б) данная система имеет ненулевые решения, найти их.

Решение. Вычислим определитель системы:

б) При t 1 A 0 система имеет ненулевые решения.

Найдём их методом Гаусса. Для этого приведём матрицу A при t 1 к трапециевидной форме:

Таким образом, r r A 2, число неизвестных n 3 . Так как r = 2 < n = 3, то система имеет бесконечное множество решений, в том числе и ненулевые. Неизвестные x1 , x2 возьмём ба-

зисными, а x3 – свободной. Исходная система уpавнений сво-

дится к системе двух уpавнений:

Придавая свободной переменной произвольное значение, например, x3 , получим из 2-го уравнения x2 , а из 1-го уравнения находим x1 . Общее решение исходной систе-

мы: x1 , x2 , x3 .

1.6 Варианты заданий контрольной работы по разделу «Линейная алгебра»

Задача 1. Даны матрицы

Задача 2. Вычислить определитель 3-го порядка:

а) разложив по элементам какой-либо строки или столбца; б) другим способом, например, по правилу треугольников.

Задача 3. Решить систему уравнений: а) с помощью правила Кpамеpа; б) с помощью обpатной матpицы. Сравнить результаты.

36

Задача 4. Решить систему уравнений методом Гаусса.

38

x1 x2 3x3 2x4 0, 4.25. 6x1 3x2 7x3 x4 0,

4x1 x2 5x3 2x4 0.

39

2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1Операции над векторами и их приложения

Вмеханике, физике и других прикладных науках часто рассматриваются векторные величины, для определения которых требуется задать кроме числа ещё и направление (например, скорость, ускорение, сила и т. п.).

2.1.1 Общие понятия

Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок прямой с указанием точек начала А и конца В. Вектор обознача-

ется символом AB или a .

вектором и обозначается 0 , например, AA 0 . Направление нулевого вектора не определено.

Векторы a и b называются коллинеарными, если они ле-

жат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: a ||b .

Направления коллинеарных векторов могут совпадать (a b )

или быть противоположными (a b ).

Векторы a и b будем считать равными, если у них одина-

ковые длина и направление: a b a b и a b .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку.

Векторы, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными. Например, любые два вектора всегда компланарны: если их отложить из одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. А вот три вектора и более могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

40