В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

Основные свойства векторного произведения.

1) Модуль векторного произведения векторов a и b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Это следует из определения векторного произведения и из-

вестной формулы площади параллелограмма.

2) b a a b , т. к. при повороте от вектора b к a

меняется на противоположное направление вектора a b .

3) a || b a b 0 , так как синус угла между коллинеар-

ными векторами равен нулю. Это свойство можно использовать

как критерий коллинеарности векторов. В частности, a a 0 .

4)a b a b a b .

5)a b c a b a c .

произведение можно вычислить по формуле:

a b aybz azby i axbz azbx j axby aybx k .

Полученное выражение можно записать в более удобном для запоминания виде – в виде «формального» определителя:

Определитель назван «формальным» потому, что в его первой строке – не числа, а векторы. Но по форме и способу вычисления – определитель.

Пример 2.8. Найти площадь ABC с вершинами

A 1, 2,1 , B 0, 2,5 , C 1,0, 3 .

Решение. Можно считать, что ABC построен на векторах

AB и AC . Ясно, что площадь ABC равна половине площади

51

параллелограмма, построенного на этих векторах. Найдём координаты этих векторов:

AB 1,0,4 , AC 0,2, 4 . Тогда

1 8, 4, 2 4,2,1 42 22 12 21 .

2

В механике используется векторная величина M – момент

силы F , приложенной в точке A, относительно точки В. Мо-

Пример 2.9. Найти модуль момента силы F i j 2k ,

приложенной к точке A 0, 3,4 , относительно начала коор-

динат О.

Решение. Так как OA 0, 3,4 , то момент силы

число a b c . Здесь сначала вычисляется векторное произве-

52

a b c 0 a,b,c – левая тройка.

3)Критерий компланарности трёх векторов:

Пример 2.10. Найти объём пирамиды, вершинами которой служат точки A 5,3,4 , B 3,2,2 , C 4,1,2 , D 2,9,10 .

Решение. Можно считать, что пирамида построена, напри-

мер, на векторах AB, AC, AD . Найдём координаты этих векторов:

AB 2, 1, 2 , AC 9, 2, 2 , AD 3,6,6 .

1

Объём пирамиды Vпир. 6 60 10 .

Пример 2.11. Проверить, лежат ли в одной плоскости четы-

ре точки A(1, 0, 0), B(2, 1, 0), C(0, 1, 2), D(1, 0, 1)?

Решение. Рассмотрим векторы

AB 1,1,0 , AC 1,1,2 , AD 0,0,1 .

Вычислим смешанное произведение:

рассмотренные векторы некомпланарные, поэтому точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

2.2Элементы аналитической геометрии

2.2.1Основные понятия

В аналитической геометрии линии и поверхности рассматриваются как множества точек, обладающих некоторым, только им присущим свойством. Например, окружность определяется как множество точек плоскости, равноудалённых от некоторой фиксированной точки на этой плоскости (центра окружности); сферу можно рассматривать как множество точек в пространстве, равноудалённых от некоторой фиксированной точки пространства (центра сферы).

Равенство F x, y 0 с двумя переменными x, y называ-

ется уравнением линии L на плоскости с системой координат OXY , если координаты любой точки линии удовлетворяют этому равенству, и, наоборот, любая точка, координаты которой удовлетворяют этому равенству, лежит на линии L. Короче,

F x, y 0 M x, y L.

Таким образом, уравнение линии есть соотношение, связывающее координаты точек данной линии (и только этих точек). Говорят, что уравнение определяет (задаёт) линию.

54

Если же линия определена как множество точек с указанием определяющего свойства этих точек, то важной задачей является вывод уравнения этой линии.

Пример 2.12. Вывести уравнение окружности с центром в точке M0 x0 , y0 и радиусом R.

Решение. Пусть M(x, y) – любая точка окружности L. Тогда, используя определяющее свойство точек окружности, можно символически записать:

x x0 2 y y0 2 R .

Таким образом, координаты x, y каждой точки М окружности удовлетворяют уравнению

x x0 2 y y0 2 R2 .

Обратно, любая точка M x, y , координаты которой

удовлетворяют этому уравнению, принадлежит окружности, так как её расстояние от точки M0 x0 , y0 равно R.

Аналогично вводится понятие уравнения поверхности в

странстве, если для любых чисел x, y, z данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда точка M(x, y, z) лежит на поверхности Р :

F x, y, z 0 M x, y, z P .

Замечания.

1) В дальнейшем будут рассмотрены только линии и поверхности, определяемые в прямоугольной системе координат алгебраическими уравнениями первой и второй степеней. Например, на плоскости:

55

Ax By C 0 – уравнение 1-й степени (хотя бы одно из чисел A, B не равно 0);

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 – уравнение 2-й степени (хотя бы одно из чисел A, B, C не равно 0).

2) Иногда бывает удобно для задания линии на плоскости выражать координаты её точек через вспомогательную переменную, так называемый параметр:

x x t , y y t , t , .

Тогда любому значению t , будет соответствовать

точка плоскости с координатами x t , y t . Если параметр t –

время, то линия – это траектория движения точки. Например,

задают окружность радиуса R с центром в начале координат. Действительно, если возвести оба уравнения в квадрат и затем сложить их, то получим x2 y2 R2 – уравнение 2-й степени, определяющее окружность.

2.2.2 Прямая на плоскости

Рассмотрим на плоскости OXY простейшую линию – прямую.

Теорема 2.2. Прямая на плоскости OXY и только она может быть задана уравнением 1-й степени

Ax By C 0 ,

причём вектор n A,B будет перпендикулярен этой прямой.

Это уравнение называют общим уравнением прямой на плоскости, а вектор n A,B – вектором нормали прямой.

Рассмотрим задачи, в которых будут получены и другие виды уравнений прямой в зависимости от исходных данных. Со-

2) От канонического уравнения прямой можно перейти к

параметрическим уравнениям прямой:

Решение. Угловой коэффициент прямой k tg135 1. Согласно решению задачи 3, получим

y 1 1 x 1 x y 0 .

Взаимное расположение двух прямых на плоскости вполне определяется или их направляющими векторами, или нормальными векторами, или угловыми коэффициентами. Покажем это на примерах.

Пример 2.16. Найти угол между прямыми

Решение. Запишем общие уравнения прямых и их векторы

нормалей n1 , n2 :

L1 : 3x y 1 3x y 1 0, n1 3, 1 ,

Нетрудно заметить, что углы между прямыми и их векторами нормалей равны. Тогда

Расстояние r от точки M0 x0 , y0 до прямой с уравнением

Ax By C 0 можно вычислить по формуле

r Ax0 By0 C .

A2 B2

Пример 2.17. Убедиться, что прямые

параллельны и найти расстояние r между ними.

Решение. Приведём каноническое уравнение прямой L2 к

общему уравнению: 2 x 1 y 4 2x y 6 0 . Векторы

L1 , L2 коллинеарны, значит, данные прямые параллельны. Нетрудно убедиться, что расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от какой-либо точки M0 L2 до пря-

мой L1 . Выбрать точку на прямой очень просто, достаточно задать одну из переменных, а другую выразить из уравнения этой прямой. Например, пусть x 0 , тогда

2 0 y 6 0 y 6 M0 0,6 L2 .

2.2.3 Линии 2-го порядка

Рассмотрим линии 2-го порядка, которые определяются на координатной плоскости OXY общим уравнением 2-го порядка:

Ax2 2Bxy Cy2 Dx Ey F 0 ,

где коэффициенты A, B и C одновременно в ноль не обращаются. Может оказаться, что это уравнение определяет так называемую вырожденную линию. Например, уравнение 2-го порядка

Теорема 2.3. Если линия 2-го порядка невырожденная, то найдётся такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение этой линии имеет один из следующих трёх

b

60