В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

2.1.2 Линейные операции

Рассмотрим линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число.

Пусть a и b – два вектора. Совместим путём параллель-

ного переноса начало вектора b с концом вектора a . Тогда век-

тор, идущий из начала a в конец b , называется суммой векто-

ров a , b (сложение по «правилу треугольника»).

Можно отложить a и b из одной точки и построить па-

раллелограмм. Тогда суммой a b будет вектор диагонали, выходящий из общего начала (сложение по «правилу параллелограмма»). Очевидно, что оба правила дают одинаковый результат.

Вектор a1 a имеет единичную длину, он одинаково на-

правлен с вектором a , его называют ортом вектора a и обозначают a0 .

Из определения произведения вектора на число следует важный результат.

Теорема 2.1 (свойство коллинеарных векторов).

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они отличаются только числовым множителем:

5) a a .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Вычитание вектора b из вектора a (разность векторов a b ) – это сумма вектора a и вектора, противоположного век-

тору b , т. е. a b a b . Геометрически разность векторов строится так:

Таким образом, в параллелограмме, построенном на векто-

42

Свойство 2.

ПрLa a cos , где – угол между вектором a и осью L.

Это равенство следует из определения косинуса угла как отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном

Свойство 3.

ПрL a b ПрLa ПрLb , ПрL a ПрLa .

Проверить эти свойства проекций на рисунках нетрудно, читатель может сделать это самостоятельно.

Замечание. Можно также говорить о проекции вектора a

на некоторый другой вектор b . В этом случае рассматривают ось L вектора b (т. е. прямую, на которой лежит b , с тем же направлением) и проецируют на эту ось: Прb a ПрLa .

2.1.4 Координаты вектора и точки

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова систе-

такие, что OM xi , ON y j . Отсюда a ax i ay j .

Эта формула называется разложением вектора a по ортам

i , j . Числа ax и ay называются координатами вектора a .

С помощью рисунка легко убедиться, что координаты вектора a (ax – абсцисса, ay – ордината) совпадают с проекция-

Координатами точки А называются координаты вектора

OA. Вектор OA называется радиус-вектором точки А. Запись A xA , yA означает, что точка А имеет координаты xA , yA .

дающие с проекциями вектора на координатные оси OX,OY,OZ соответственно. Нетрудно убедиться, что

i 1,0,0 , j 0,1,0 , k 0,0,1 .

Получим правила действий с векторами в координатной

форме. Пусть a ax ,ay , b bx ,by , тогда

a b axi ay j bxi by j ax bx i ay by j ,

т. е. a b ax bx , ay by . Аналогично, a ax , ay .

Для векторов в пространстве правила такие же.

45

2.1.5 Скалярное произведение

Скалярным произведением a b двух векторов a и b на-

зывается число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними:

a b a b cos .

Основные свойства скалярного произведения.

4) a b a b 0 , так как косинус прямого угла равен нулю. Это свойство можно использовать как критерий перпен-

дикулярности векторов.

5)a b c a b a c .

6)a b a b a b .

произведение можно вычислить по формуле: a b axbx ayby azbz .

В частном случае, при a b , учитывая свойство 3), имеем: a a a a2x a2y az2 .

Это равенство позволяет находить длину вектора через его координаты. Ясно, что расстояние AB между точками

этому

2 2 2

AB AB xB xA yB yA zB zA .

вершины треугольника. Найти его внутренний угол при вершине В.

Решение. Рассмотрим векторы

Скалярное произведение применяется в механике при вычислении работы А, совершаемой при прямолинейном движении материальной точки из положения P1 в положение P2 под

действием постоянной силы F : A F P1P2 .

Пример 2.7. Найти работу, которую производит равнодей-

ствующая сил F1 i 9j 3k и F2 5i 6 j k , если её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения P1 2,5, 8 в положение P2 4,3, 2 .

Решение. Равнодействующая сила

F F1 F2 1 5 ,9 6 , 3 1 4,3, 2 .

Вектор перемещения P1P2 4 2,3 5, 2 8 6, 2,6 .

Работа A F P1P2 4 6 3 2 2 6 6 .

2.1.6 Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов a и b называ-

ется новый вектор, обозначаемый a b , такой, что: