В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

Решение.

1.4 Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размером m n. Выделим в ней ка- кие-либо k строк и k столбцов (k m, k n). Из элементов, стоящих на их пересечении, составим определитель. Он называ-

ется минором k-го порядка матрицы А.

порядка – это элементы матрицы, их в нашем примере 6 штук. Миноров 2-го порядка – 3 штуки (строки нужно включать все, а из столбцов один не включать). Например, минор 2-го порядка

1 3 получен пересечением всех строк с 1-м и 3-м столбцами.

0 6

Если у матрицы А среди её миноров есть хотя бы один ненулевой минор порядка r, а все миноры больших порядков равны нулю, то число r называется рангом матрицы А и обозна-

21

чается r r A . Ясно, что ранг матрицы не может быть больше числа строк или числа столбцов этой матрицы.

Пример 1.9. Найти ранг матриц:

Решение. Заметим, что у матрицы А строки пропорциональны, поэтому все миноры 2-го порядка равны 0. Значит, r A 1.

Имеем r B 3, так как минор 3-го порядка – это опреде-

литель матрицы и он не равен нулю: B 8.

У матрицы С есть минор 2-го порядка, не равный 0 (на-

2 1

0 5

порядка равен 0, так как содержит нулевую строку. Значит, r C 2.

Вычисление ранга матрицы путём вычисления всех её миноров является весьма трудоёмкой задачей, особенно для матриц больших размеров. Научимся вычислять ранг более простым способом.

Рассмотрим сначала матрицу специального вида

Если все элементы c11 , c22 ,...,ckk – не равные нулю числа, то

такую матрицу называют матрицей трапециевидной формы.

Последние нулевые строки могут и отсутствовать. Нетрудно

22

убедиться, что ранг такой матрицы равен числу её ненулевых строк, т. е. r C k .

Научимся любую матрицу приводить к трапециевидной форме, не меняя её ранга. Для этого рассмотрим элементарные преобразования:

1)перестановка строк (столбцов);

2)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Теорема 1.2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Теорема 1.3. Любую матрицу можно привести к трапециевидной форме, используя элементарные преобразования.

Эти результаты положены в основу вычисления ранга матрицы методом элементарных преобразований. Приведём пример.

Решение. Приведём матрицу к трапециевидной форме с помощью элементарных преобразований.

1) Добьёмся, чтобы все элементы в 1-м столбце, кроме первого, стали равными 0. Это можно сделать с помощью 1-й строки: ко 2-й строке прибавим 1-ю строку, а к 3-й прибавим 1-ю, умноженную на число (–5). Получим

Здесь знак означает, что у этих матриц одинаковый ранг (по теореме 1.2).

2) С помощью 2-й строки добьёмся, чтобы на месте (3, 2) стоял нулевой элемент. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на 3:

23

Ранг последней матрицы трапециевидной формы равен 2, такой же ранг и у исходной матрицы: r A 2.

1.5 Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

форме.

24

Решением системы называется такая совокупность чисел с1,c2 , ...,cn , что после замены неизвестных xi соответствую-

щими числами ci каждое из уравнений системы обращается в тождество. В матричной записи решение системы представляет

1 2 2 5,

верные равенства: 2 1 1 2 0.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. В примере 1.11 система совместна, а, например, система

существовало, то c1 c2 равнялось бы одновременно и нулю, и единице.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет

25

более одного решения. Например, система x1 x2 0 , состоящая из одного уравнения (m 1, n 2), неопределённая. Решением этой системы является любая пара одинаковых чисел, т. е. система имеет бесконечное множество решений.

Две системы будем называть эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Научимся сначала решать системы линейных уравнений в частном случае: пусть матрица системы А – квадратная (число уравнений m совпадает с числом неизвестных n) и невырожденная (т. е. A 0 ). Такую систему называют крамеровской.

Теорема 1.4 (решение системы с помощью обратной матрицы).

Любая крамеровская система X B совместна и имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

X A 1 B .

Доказательство. Так как A 0, то существует обратная

матрица A 1 . Умножаем матричное уравнение X B слева

Вычислим определитель: A 5 0 . Значит, система крамеров-

ская. Найдём обратную матрицу А 1 . Для этого вначале вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

26

Теорема 1.5 (правило Крамера).

Решение крамеровской системы A X B можно найти по формулам Крамера:

j

xj , j 1,...,n,

где j – определитель, получаемый из определителя системы

A заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 1.13. Решить систему из примера 1.12 методом Крамера.

Решение. Вычислим определители:

27

Применяя формулы Крамера, получаем решение:

Сравните с результатом в примере 1.12.

Рассмотренные два метода позволяют решать системы линейных уравнений в частном, «крамеровском» случае. Перейдём к общему случаю. Основным методом решения произвольных линейных систем является метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Идея метода заключается в том, что данную систему преобразуют в эквивалентную систему специального вида, которую уже легко решить.

Алгоритм применения метода Гаусса.

1. Выписать расширенную матрицу A B системы. Так на-

зывается матрица, которая получится, если к матрице А справа дописать столбец свободных членов В:

11a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2a

Отметим, что система линейных уравнений полностью определяется своей расширенной матрицей. Например, если рас-

x1 2x2 3x3 0,

вить и исходную систему:

2x1 x2 2x3 1.

2. Преобразовать расширенную матрицу A B к матрице

A1 B1 трапециевидной формы. Это выполняется с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов.

28

методом Гаусса.

Решение. Следуя алгоритму, выпишем расширенную матрицу и приведём её к трапециевидной форме. Знак теперь будет обозначать не только совпадение рангов, но и эквивалентность соответствующих систем уравнений.

Здесь последовательно выполнены следующие элементарные преобразования:

1)переставлены местами 1-я и 2-я строки;

2)1-я строка, умноженная на (–2), прибавлена ко 2-й, затем 1-я строка, умноженная на (–3), прибавлена к 3-й;

3)2-я строка, умноженная на (–1), прибавлена к 3-й строке. Последняя строка соответствует невозможному равенству:

0 x1 0 x2 0 x3 1. Система несовместна.

имеет единственное решение. Его можно найти, определяя из уравнения cnnxn bn значение xn . Затем, поднимаясь вверх,

найти последовательно xn 1 , xn 2 ,..., x1. Заметим, что такая

29

ситуация складывается в случае, когда r n, т. е. ранг матрицы равен числу неизвестных.

Полученной расширенной матрице соответствует система:

5. Наконец, возможен случай, когда последняя ненулевая строка трапециевидной матрицы имеет вид