В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

lim f x f x0 .

x x0

Если обозначить через x x x0 – приращение аргумен-

та, f f x f x0 f x0 x f x0 – соответствующее приращение функции, то определение непрерывности можно записать в другой форме:

f x непрерывна в точке x0 lim f 0 .

x 0

Таким образом, функция непрерывна в точке, если малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Функция f x называется непрерывной на отрезке

a,b , если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка и в точке x a непрерывна справа, т. е. f a 0 f a , а в

точке x b непрерывна слева, т. е. f b 0 f b .

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их.

Свойство 1 (о промежуточных значениях функции). Пусть функция f x непрерывна на отрезке a,b . Обо-

значим f a A, f b B . Пусть A B . Тогда, каково бы ни

было число С, лежащее между числами А и В, найдётся хотя бы

ное следствие: если функция f x непрерывна на отрезке

a,b и на его концах принимает значения разных знаков, тогда

внутри отрезка a,b найдётся хотя бы одна точка с, в которой

91

функция обращается в нуль, т. е. f c 0. Это следствие можно

применить для решения уравнения f x 0 .

Действительно, пусть на концах отрезка a,b непрерыв-

ная функция f x принимает значения разных знаков. При-

ближённое значение корня уравнения f x 0 на таком отрез-

ке можно найти с любой нужной точностью методом деления отрезка пополам. Суть этого метода заключается в следующем.

окажется, что f x0 0 , то корень уравнения найден: c x0 . В

противном случае выберем тот из полученных отрезков, на кон-

c a2 ,b2 . Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, когда длина отрезка an ,bn станет меньше заданной точности. В качестве искомого корня обычно принимается ве-

личина c an bn .

2

Пример 3.21. Показать, что уравнение x3 x 1 0 имеет действительный корень на отрезке 2, 1 . Вычислить этот

корень методом деления отрезка пополам с точностью 0,1.

Решение. Обозначим f x x3 x 1. Эта функция не-

прерывна на отрезке 2, 1 и на его концах принимает значе-

92

корнем данного уравнения. Найдём его значение с указанной точностью.

Свойство 2. Непрерывная на отрезке a,b функция f x

ограничена и принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е.

93

Важным свойством элементарных функций является их непрерывность в области определения. Это свойство (без доказательства) мы уже формулировали в теореме 3.2 и использовали при вычислении пределов элементарных функций.

3.2.2 Точки разрыва

Точка x0 называется точкой разрыва функции f x , если

f x определена хотя бы в проколотой окрестности точки x0 и

не является непрерывной в этой точке.

Например, функция y 1 имеет разрыв в точке x 0 , так x

как в этой точке не определена, но определена в её проколотой окрестности. Функция y lg x тоже не определена в точке x 0 , но эта точка не считается точкой разрыва, так как эта функция не определена в её проколотой окрестности.

Точки разрыва функции разделяют на точки разрыва 1-го и 2-го рода.

Если же хотя бы одно из этих равенств нарушено, то x0 называ-

этом не важно, определено значение f x0 или нет.

2) Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то x0 называется точкой раз-

рыва 2-го рода.

Пример 3.22. Исследовать на непрерывность функцию

fx x2 3x 2 .

x1

Решение. Функция элементарная, значит, непрерывна на области определения D ,1 1, . Точка x 1 – точ-

94

ка разрыва функции, так как, хотя в самой точке функция не определена, но она определена в её проколотой окрестности. Вычислим односторонние пределы в этой точке, разлагая квадратный трёхчлен на сомножители:

точка с координатами 1, 1 на этой пря-

мой отсутствует.

Пример 3.23. Исследовать на непрерывность функцию

1

Вывод: x 1 – точка разрыва 2-го рода.

На рисунке показан схематически график функции в окрестности точки разрыва.

95

Пример 3.24. Исследовать на непрерывность функцию

x 1 при x 1, f x

1 2x при x 1.

Решение. Данная функция определена на всей числовой прямой, задана кусочно-аналитическим способом. Она может иметь разрыв в точке x 1, где меняется её аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна.

Вычислим односторонние пределы и значение функции в

Вывод: функция в точке x 2 непрерывна слева, а справа имеет разрыв 1-го рода.

3.3 Варианты заданий контрольной работы по разделу «Предел и непрерывность функции»

96

97

98