В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

3 ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Понятия предела и непрерывности функции являются фундаментальными понятиями в математике. Изучив данный раздел, читатель подготовит себя к восприятию понятий производной и интеграла. Ограничимся случаем функции одной действительной переменной.

3.1Предел функции

3.1.1Определение

Для определения предела функции используется понятие

следующие записи:

x U x0 x0 x x0 x x0 .

Если из окрестности U x0 удалить точку x0 , то говорят о проколотой окрестности Uo x0 .

Для бесконечно удалённых точек + , – окрестности определяются следующим образом:

U x x N , U x x N ,

где N – сколь угодно большое положительное число.

Введём понятие предела функции f x в точке x0. При этом x0 должна быть предельной точкой области определения

D рассматриваемой функции. Это означает, что любая её проколотая окрестность имеет непустое пересечение с D, т. е. к предельной точке можно стремиться, в D есть точки, сколь угодно близкие к x0 .

Говоря нестрого, то, что число b является пределом функции f x в точке x0 , означает: если переменная x, изменяясь,

стремится к x0, то значения функции f x стремятся к числу b.

Приведём теперь более строгое определение, использующее понятие окрестности.

75

Число b называют пределом функции f x в точке x0 , ес-

ли для любой окрестности точки b (даже очень маленькой) найдётся такая проколотая окрестность точки x0, что для всех x из неё соответствующие значения функции f x попадут в окре-

стность точки b. Обозначение: b lim f x .

x x0

Это определение коротко можно записать так:

lim f x b U b U x0 : x U x0 f x U b .

x x0

Это достаточно общее определение предела функции, в нём x0 и b не обязательно конечны. Можно дать определение и подругому – как говорят, на языке « – ». Но тогда приходится рассматривать несколько случаев. Например, если x0 и b конечны, определение предела можно записать в таком виде:

этой постоянной).

Решение. Действительно, для любого положительного числа

и для любого x выполняется f x b C C 0 . По-

этому в качестве можно взять любое положительное число.

Пример 3.2. Пусть f x x. Показать, что

lim f x lim x x0 .

x x0 x x0

Решение. Возьмём произвольное число 0 и потребуем,

чтобы f x b x x0 . Это неравенство будет справед-

ливо для любого x из U x0 , если взять .

Если хотя бы одно из x0 , b бесконечно, то для определения предела на языке « – » получаются другие записи. Например, если x0 конечно, а b :

76

венство будет справедливо для любого x из U 0 , если взять

1 .

N

Рекомендуем читателю записать и другие возможные слу-

чаи.

Замечание. Можно доказать (проведя рассуждение «от противного»), что у функции в точке не может быть двух разных пределов, т. е. если предел существует, то он единственный.

Введём понятия односторонних пределов. Если x x0 и

при этом x x0 , то говорят, что x стремится к x0 слева и пишут:

Из определения предела функции следует, что предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны:

Здесь приняты обозначения f x0 0 , f x0 0 для лево-

стороннего и правостороннего пределов соответственно. Если

же f x0 0 f x0 0 , то lim f x не существует.

x x0

77

Пример 3.4. Показать, что функция

Односторонние пределы не совпадают, поэтому limsgn x не

x 0

существует.

3.1.2 Свойства предела функции

Теорема 3.1 (арифметические свойства предела). Пусть су-

Замечания.

1) Из утверждения б) теоремы 3.1 и примера 3.1 следует, что постоянный сомножитель С можно выносить за символ предела:

lim С f x С lim f x .

x x0 x x0

2) Из утверждения б) следует, что

Сформулируем важный результат, который будет широко использоваться при вычислении пределов.

78

Теорема 3.2. Предел элементарной функции f x в лю-

бой точке x0 её области определения равен значению функции в этой точке:

lim f x f x0 .

x x0

Пример 3.5. Вычислить lim 2x 3 . x 1 3x 2

Решение. Точка x0 1 принадлежит области определения

элементарной функции 2x 3 , поэтому по теореме 3.2

3x 2

Отметим, что этот предел можно вычислить и с помощью теоремы 3.1.

Если функция, стоящая под знаком предела, не определена в предельной точке, то вычисление предела – более трудная задача, для решения которой нужно применять специальные приёмы.

3.1.3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

В теории пределов важную роль играют бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция x называется бесконечно малой в окрестности

x 1 – бесконечно малая при x 1.

конечно большая при x 0 (см. пример 3.3) .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями есть связь.

79

Теорема 3.3. Если функция x – бесконечно малая в ок-

1

рестности точки x0 и x 0, то x – бесконечно большая в

окрестности x0. Обратно: если функция x бесконечно боль-

1

шая, то x – бесконечно малая.

Доказательство следует из определений бесконечно малой и бесконечно большой и равносильности неравенств:

Приведём ещё некоторые важные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1)Сумма, разность, произведение конечного числа бесконечно малых в окрестности точки x0 функций – бесконечно малые в этой окрестности.

2)Произведение бесконечно малой на ограниченную в окрестности точки x0 функцию – бесконечно малая.

3)Произведение бесконечно большой в окрестности точки x0 функции на функцию, имеющую в этой точке ненулевой предел – бесконечно большая.

4)Сумма ограниченной в окрестности точки x0 функции и бесконечно большой в этой окрестности – бесконечно большая.

Понятие предела функции (в случае, когда этот предел конечен) может быть сведено к понятию бесконечно малой.

Теорема 3.4 (связь между функцией, её пределом и бесконечно малой).

lim f x b f x b x ,

x x0

где x – бесконечно малая при x x0 .

Продолжим знакомить читателя с некоторыми приёмами вычисления пределов на примерах.

80