В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

неограниченно приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Уравнения асимптот:

y b x. a

Для построения гиперболы целесообразно сначала построить её асимптоты. Для этого строят прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей OX и OY. Диагонали этого прямоугольника, неограниченно продолженные, являются асимптотами. Зная вершины и асимптоты, теперь легко провести две ветви гиперболы.

Для всех точек M гиперболы справедливо характеристиче-

модуль разности расстояний каждой точки гиперболы до фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами.

62

L: x p , перпендикулярная оси и проходящая на расстоя-

2

нии p от вершины параболы, называется её директрисой.

2

Для любой точки M параболы справедливо характеристическое свойство: FM MN , т. е. каждая точка параболы оди-

наково удалена от фокуса и директрисы.

таются каноническими уравнениями парабол. Сопроводим их соответствующими рисунками.

Пример 2.19. Составить уравнение параболы, зная, что она симметрична оси OY, фокус находится в точке 0,2 , а вершина совпадает с началом координат.

Решение. Из условий задачи следует, что парабола имеет ка-

ноническое уравнение: x2 2py . Фокус находится в точке

В дальнейшем будет рассмотрен только частный случай общего уравнения 2-го порядка:

Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 .

Такое уравнение может быть преобразовано к каноническому виду с помощью параллельного переноса осей координат (меняется положение начала координат, а направление осей и

64

масштаб сохраняются). Положение новой системы координат

Полученные формулы параллельного переноса позволяют находить старые координаты (x, y) любой точки по новым координатам (x1, y1)и наоборот.

Приведение уравнения к каноническому виду удобно де-

лать методом выделения полных квадратов. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 2.20. Уравнение линии 2-го порядка

2x2 y2 4x 6y 3 0

привести к каноническому виду. Определить тип этой линии, её основные параметры. Сделать рисунок.

Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:

2 x2 2x y2 6y 3 0 .

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

2 x2 2x 1 1 y2 6y 9 9 3 0 ,

2 x 1 2 2 y 3 2 9 3 0 ,

2 x 1 2 y 3 2 8 .

Геометрически эта замена означает собой параллельный перенос осей координат. Начало новой системы координат

65

Пример 2.21. Уравнение линии 2-го порядка y2 4y 2x 6 0

привести к каноническому виду. Определить тип этой линии, её основные параметры. Сделать рисунок.

Решение. Группируем члены, содержащие y, выделяем полный квадрат:

y2 4y 4 4 2x 6 0 y 2 2 2 x 1 .

Сделаем замену переменных (или, с точки зрения геомет-

директрисы x 1 .

2

2.2.4 Плоскость в пространстве

Рассмотрим в пространстве OXYZ простейшую поверхность – плоскость.

Теорема 2.4. Плоскость и только она может быть задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением 1-й степени:

Ax By Cz D 0

причём вектор n A,B,C перпендикулярен этой плоскости.

Это уравнение называют общим уравнением плоскости, а

вектор n– вектором нормали. Отметим аналогию между общими уравнениями плоскости в пространстве и прямой линии на плоскости. В обоих случаях – это уравнения 1-й степени, а коэффициенты при неизвестных являются координатами вектора нормали.

Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Рассмотрим два из них.

Задача 4. Составить уравнение плоскости P, проходящей через точку M0 x0 ,y0 ,z0 перпендикулярно вектору нормали n A,B,C .

Решение. Возьмём на плоскости произвольную точку

M x,y,z и составим вектор M0M x x0 ,y y0 ,z z0 .

Имеем

M P n M0M n M0M 0

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Если раскрыть скобки и обозначить D Ax0 By0 Cz0 ,

то получим общее уравнение плоскости.

67

Задача 5. Найти уравнение плоскости P, проходящей через 3

M1M, M1M2 , M1M3 также лежат в плоскости Р, а это означа-

ет, что эти векторы компланарны. Воспользуемся критерием компланарности 3-х векторов (их смешанное произведение

должно быть равно нулю): M1M M1M2 M1M3 0 . В коор-

динатной форме получаем уравнение плоскости:

Пример 2.22. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1 1,0, 2 ,M2 2,1,0 ,M3 1,2,3 .

Решение. Воспользуемся решением задачи 4:

x 1 1 y 9 z 2 4 0 . Отсюда получим общее уравне-

ние плоскости: x 9y 4z 7 0.

Ранее была приведена формула, позволяющая находить расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки M1 x1 , y1 ,z1 до плоскости, определяемой уравнением

Ax By Cz D 0, можно вычислить по похожей формуле:

r Ax1 By1 Cz1 D .

A2 B2 C2

Например, расстояние от точки M1(2, –1, 5) до плоскости

68

Так же, как и для прямых на плоскости, взаимное положение плоскостей вполне определяется их нормальными векторами.

Пример 2.23. Найти угол между плоскостями

2x 3y z 4 0 и x 2y 4z 8 0 .

Решение. Нормальные векторы данных плоскостей n1 2,3, 1 и n2 1,2,4 .

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами, поэтому

Значит, данные плоскости перпендикулярны.

2.2.5 Прямая в пространстве

Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей:

A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2z D2 0.

Эту систему называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве можно определить, задав какую-либо точку M0 x0 , y0 , z0 на прямой, и вектор

s sx , sy , sz , параллельный этой прямой. Тогда для произ-

вольной точки M x,y,z в пространстве справедливо утвер-

ждение: M L M0M || s . В координатной записи коллинеар-

ность векторов M0M и s означает пропорциональность их ко-

ординат:

x x0 y y0 z z0 .

Такая система уравнений называется каноническими уравне-

69

ниями прямой. Из канонических уравнений можно получить

параметрические уравнения прямой:

Замечание. Если известны 2 точки M1 , M2 , через которые проходит прямая, то в качестве направляющего вектора данной

прямой можно взять вектор M1M2 .

Пример 2.24. Найти угол между прямой, проходящей через

Если они не параллельны, то найти их точку пересечения.

Решение. Из условия задачи находим направляющий век-

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему, составленную из их уравнений. Проще всего

70