В.П. Зайцев. Математика для студентов-заочников. Часть 1

1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем алгебраических уравнений 1-й степени. Основными инструментами при этом являются матрицы и определители. Эти понятия будут использоваться и в последующих разделах.

1.1 Матрицы и операции над ними

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Числа aij называются элементами матрицы. Индексы i и j оз-

начают, соответственно, номер строки и номер столбца, на пере-

a22 1, a23 4.

Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и равны их соответствующие элементы.

Если в матрице одинаковое число строк и столбцов, т.е. m n, то матрицу называют квадратной. Число n – её поря-

док. У квадратной матрицы aij n n элементы a11 ,a22 ,...,ann

образуют главную диагональ, другая диагональ называется побочной. Матрица, у которой по одну сторону от главной диагонали все элементы равны нулю, называется треугольной. На-

называется единичной, если все её элементы на главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю. Например,

Определим основные операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить мат-

рицу на число, нужно на это число умножить все её элементы. Например:

2) Сложение матpиц. Складывать можно только матрицы одинакового размера, при этом складываются их соответствующие элементы. Например:

3) Умножение матриц. Умножение матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицысомножителя равняется числу строк второй матрицы-

сомножителя. Тогда произведением А B матрицы A aij m n

на матрицу B bij n k называется матрица C cij m k , элемен-

ты cij которой определяются формулой:

cij ai1b1 j ai2b2 j ... ainbnj .

Таким образом, для нахождения элемента cij нужно взять i-ю

строку первой матрицы и j-й столбец второй матрицы. Затем выполнить следующие действия: к произведению 1-х элементов этой строки и этого столбца прибавить произведение их 2-х элементов, прибавить произведение 3-х элементов и т. д. (составить сумму парных произведений):

13

Отметим, что число строк матрицы C А B равно числу строк первой матрицы А, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы В.

Пример 1.1. Выполнить умножение матриц:

называется единичной – при умножении чисел аналогичным свойством обладает число 1.

мерами, то получим матрицу, которая называется транспонированной к матрице A и обозначается AT , т. е. AT aji n m .

14

Пример 1.2.

Из определений рассмотренных операций следуют их свойства:

1.2 Определители и их свойства

Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы. Опреде-

литель матрицы A обозначается обычно так: A . Рассмотрим

правила вычисления определителей.

сывается и вычисляется так:

числяемое по определённому правилу, а матрица – таблица чисел. Однако, в определителе | A|, как и в соответствующей мат-

рице А, будем различать его элементы aij , строки, столбцы,

диагонали.

15

Пример 1.3. Вычислить определитель матрицы

Замечания.

1) В этой формуле каждый элемент 1-й строки умножается на определитель, который получится, если вычеркнуть строку и столбец, где этот элемент расположен. Такой определитель будем называть минором соответствующего элемента aij и обо-

знак «–». Чтобы сформулировать и запомнить правило знаков, вводится понятие алгебраического дополнения. Алгебраическим дополнением элемента aij называется число

Aij 1 i j Mij .

Заметим, что минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента совпадают, если i + j – чётное число, и отличаются только знаком, если i + j – нечётное число.

Используя эти понятия, формулу для определителя 3-го

16

порядка можно записать так:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12A12 a13A13 .

a31 a32 a33

3) Если вычислить входящие сюда определители 2-го порядка, то получится другая формула:

A a11a22a33 a12a23a31 a21a13a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 .

Чтобы запомнить, какие произведения берутся со знаком «+», а какие со знаком «–», полезно использовать правило треуголь-

ников (правило Саррюса):

Решение. По определению

Пользуясь правилом треугольников, получим тот же результат:

A 4 0 2 2 1 2 3 1 1 2 0 1 3 2 2 1 1 4 9.

Рассмотрим теперь общий случай. Определителем квадратной матрицы любого порядка n называется число, которое вычисляется следующим образом:

A a11A11 a12 A12 ... a1nA1n .

Эта формула называется разложением определителя по 1-й строке.

Перечислим основные свойства определителей. Обоснова-

ние каждого свойства рекомендуем провести самостоятельно,

17

хотя бы для определителей 2-го или 3-го порядков.

Свойство 1. Определитель матрицы А совпадает с опреде-

лителем транспонированной матрицы AT , т.е. | A| | AT |.

Это свойство говорит о «равноправности» строк и столбцов определителя, дальнейшие свойства определителя будут формулироваться только для строк, хотя будут справедливы и для столбцов.

Свойство 2. Если в определителе переставить местами две строки, то он сменит знак.

Свойство 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Это свойство позволяет вычислять определители разложением по любой строке, а в силу свойства 1 и по любому столбцу. Например, для определителя 3-го порядка имеют место сле-

дующие равенства (разложение по i-й строке):

| A| ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3Ai3 , i 1,2,3.

Замечание. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Этот результат легко получить, если последовательно разлагать каждый определитель по 1-му столбцу. Например, при n 4 :

В частности, определитель единичной матрицы Е равен единице: E 1.

18

Свойство 7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любой общий множитель.

Это свойство особенно часто используется при вычислении определителей высоких порядков, так как позволяет получать нули среди элементов, а это облегчает вычисление.

Решение. Получим ещё два нуля в 1-м столбце. Для этого выполним следующие преобразования: 1) ко 2-й строке прибавим 1-ю строку, умноженную на 2; 2) к 4-й строке прибавим 1-ю строку, умноженную на (–3). Определитель, по свойству 8, не изменится:

нии – нулевые). Полученный определитель 3-го порядка вычислим, например, по правилу треугольников:

3 1 8

A 1 3 1 81 8 4 96 3 9 25.4 1 9

Свойство 9. Для квадратных матриц

A B A B .

19

1.3 Обратная матрица

Матрица A 1 называется обратной к квадратной матрице

A, если A 1 A A A 1 E , где E – единичная матрица.

называют вырожденными) найти обратную матрицу нельзя. Если же A 0, то матрицу называют невырожденной.

Теорема 1.1. Если A – невырожденная квадратная матрица, то обратная матрица может быть найдена по формуле

где A Aij – матрица, составленная из алгебраических до-

полнений элементов aij матрицы А.

рожденная матрица и обратная для неё существует. Найдём ал-