- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
2) Необходимый признак экстремума
Теорема:
Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю либо не существует
Доказательство:
Пусть существует , если в точке- максимум, то для достаточно малой окрестностиимеет наибольшее значение в этой окрестности, по теореме Ферма
Согласно теореме точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где производная не существует или равна нулю. Такие точки называются подозрительными на экстремум. Точки в которых производная равна нулю называются стационарными.
Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.
3) Достаточные признаки эктремума
Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):
Пусть - внутренняя точка обл определенияинепрерывна в, тогда:
1. Если при переходе через ,меняет знак с плюса на минус (т.е.), то в- строгий максимум;
2. Если при переходе через ,меняет знак с минуса на плюс, то в- строгий минимум;
3. Если при переходе через ,не меняет знак, то экстремума внет, т.е. функция вмонотонна.
Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.
При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.
(27)Экстремумы функции: достаточные признаки.
Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):
Пусть - внутренняя точка обл определенияинепрерывна в, тогда:
1. Если при переходе через ,меняет знак с плюса на минус (т.е.), то в- строгий максимум;
2. Если при переходе через ,меняет знак с минуса на плюс, то в- строгий минимум;
3. Если при переходе через ,не меняет знак, то экстремума внет, т.е. функция вмонотонна.
Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.
При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.
Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума):
Если - внутренняя точка обл определения, производная, тогда при- строгий минимум, а- строгий максимум точку
Доказательство:
Пусть , т.к.строго возрастает ви т.к., то при переходефункцияменяет знак с минуса на плюс, а это согласно теореме 1 означает, что в точке- минимум.
Теорема 3 (третий достаточный признак экстремума):
Пусть - внутренняя точка обл определения,, аи конечна, тогда:
1. Если n – нечет, то экстремума в точке нет: функция строго возрастает, еслии строго убывает если;
2. Если n – чет, то в точке есть экстремум: строгий максимум, еслии строгий минимум, если
Доказательство:
Применим для функции формулу Тейлора доn-2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа: согласно условию 1 остается только
Рассмотрим случаи:
а) n – нечет, тогда возрастает, т.е.поэтому прии следовательно
- чет строго возрастает в
б) n – чет, - нечет. Пустьприа прии учитывая, что- минимум. В случае- строгий максимум
Из трех признаков - первый самый сильный, в том смысле что когда второй и третий дают ответ, он тоже дает ответ, в то время, когда есть случаи когда первый признак применим а второй и третий нет.
Пример:
а)
Экстремум есть в точку =
минимум
б) при
в точке длясущ все производные причем все они равны нулю
(28)Направление вогнутости графика функции: достаточные признаки направления вогнутости.
1) Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть- внутренняя точка области определения, и существует конечная, тогда существует касательная в точкеи уравнение касательной имеет вид:
Определение1: Если точки графика прилежат в верхней (нижней) относительно касательной, полуплоскости, то говорят, что график внаправлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны отточки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны в нижней, то в точкеграфик имеет перегиб.
Определение 2: Введем вспомогательную функцию В точкеr(x)=0. В остальных разность между точкой графика и касательной, если r(x)>0 то вогнутость вверх.
Определение 1': График функции в направлен вогнутостью вверх, еслиr(x) имеет в точке минимум, и вогнутостью вниз, если вмаксимум, и в точкебудет перегиб, еслиr(x) монотонно возрастает (убывает).
2) Признаки направления вогнутости и точек перегиба графика функции.
Теорема1: (первый достаточный признак направления вогнутости)
Если: 1) строго возрастает в, то ввогнутость строго вверх
2) строго убывает в, то ввогнутость строго вниз .
Док-во: По условию, случай 1 при переходе черезменяет знак с минуса на плюс, а в самой r(x) в имеет минимум => (по определению) означает вогнутость строго вверх.
Теорема2: (второй достаточный признак направления вогнутости)
Если , то ввогнутость строго вверх, если- строго вниз.
Док-во: Пусть строго возрастает в, по теореме1.
Теорема3: (третий достаточный признак)
Если , аи конечна, то приn- нечетном, в точке строгий перегиб, а приn- четном график направлен вогнутостью строго вверх, при , вниз при.
Док-во: ,,и конечна, тогда согласно теореме (о 3ем дост признаке экстремума) имеем, что приn- нечетном, получаем что r(n)- монотонна, т.е. встрогий перегиб, приn- четном, r(x) имеет экстремум: вминимум, т.е. вогнутость вверх, если, максимум => вогнутость вниз.
(29)Точки перегиба графика функции: необходимый и достаточные признаки.
Теорема4: (необходимый признак точки перегиба)
Если в график имеет перегиб, тоили.
Док-во: Возможны 2 случая, либо либо, в последнем случае, т.к. по второму достаточному признаку вграфик направлен либо вогнутостью вверх, либо вниз, а это противоречит тому, что вперегиб.
Теорема5: (достаточный признак точки перегиба)
Если непрерывна в, а вменяет знак при переходе через, то вграфик имеет перегиб.
Док-во: По первому признаку экстремума вимеет строгий экстремум =>сохраняет один и тот же знак с обеих сторон от,;по первому признаку экстремумастрого монотонна в(т.к. не меняет знак) и по определениювперегиб.