(8)Классификация разрывов функции

1) Функция разрывна в , когдалибо не существует, либо существует но не равен

Пусть существует. В этом случае разрыв называют устранимым (назначают взначение р)

Пример:

2) Пусть не существует- внутренняя точка, тогда непрерывность возначает непрерывность как слева так и справаразрывность возначает наличие разрыва хотя бы с одной стороны.

Определение:

Функция имеет в точкесправа (слева) разрыв первого рода, еслии разрыв второго рода, если этот односторонний предел не существует или бесконечен.

Пример:

Определение:

Двусторонний разрыв называется разрывом первого рода, если односторонние разрывы только первого рода и второго рода в противном случае.

(9)Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции.

1) Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Пусть материальная точка m движется вдоль направления прямой S, по закону S(t), в момент времени точка находилась в, через время(т.е. в момент времени) точка переместилась, мгновенной скоростью движения в момент равный, назовём.

2. Пусть имеется плоская кривая l,

Определение: предельное положение секущей при , называется касательной кl в точке , т.е. еслимежду секущей и некоторой кривой стремится к определённому пределу, при расстоянии между, то прямую проходящую черезназывают касательной.

Задача: Пусть кривая l задаётся функцией y=f(x), допустим, сто в точке к ней существует касательная, причем наклонная(т.е. составляет с положительным направлением оси угол);,-угол наклона касательной, значит

Итак, в разных задачах пришли к решению однотипных задач.

2) Понятия.

Пусть y=f(x),

Определение: производной функции f(x) в точке наз.(вводя). формула(1)- физический смысл производной, формула (2)- геометрический.

Производные:

1)

2) Функция имеет смысл. Берёмфиксируем,;

3);;

4) ,,;

5);;;

(10)Основные правила вычисления производных:формула для приращения функции, производная результатов арифметических действий.

1) Формула для приращения функции

Пусть f(x) имеет конечную производную в точке ,,- б.м.ф. по сравнению с.

Формула для приращения функции, для любого.

Следствие из (1): Если f(x) имеет конечную производную в точке то она непрерывна в.

Док-во: Непрерывность на языке приращения означает, что т.е. приращение при

Теорема: (о производной результатов арифметических действий) Если f(x),g(x): Е →R и в точке имеют конечные производные, то:

1)

2)

3),

Док-во: обозначим через , зададимприращ., при этомf(x),g(x) получат тогда:;

Следствие1: (из теоремы 1 пункт)

Следствие2:

Следствие3: константу модно выносить за знак производной:

,

(11)Основные правила вычисления производной: производная обратной функции, производная сложной функции.

Производная обратной функции

Теорема: Пусть f(x): Е →R, если

1) существует однозначная, обратная и f(x) функции,

2) существует конечная производная инепрерывна,,

то существует

Док-во: фиксируем точку , дадим ей приращение, и рассмотрим

Геометрический смысл теоремы: Рассмотрим функциюв отрезке. Обратная функция

, ,;;;