- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
(24) Признаки монотонности и постоянства функций
1) Теорема1: Если f(x) – непрерывна на <a,b> и , тоf(x)=const на <a,b>.
Доказательство: Фиксируем на<a,b>, из <a,b> рассмотрим разность f(x)-f()=(По формуле конечных приращений Лагранжа)= f(x)=f()f ()=const.
2)Теорема2: Пусть f(x) непрерывна на <a,b>, тогда:
1)Если в(a,b), то f(x) возрастает (убывает) в [a,b]
2)Если в(a,b), то f(x) строго возрастает (строго убывает) в [a,b]
Доказательство: Пусть ; возьмём,(a,b), рассмотрим разность (По формуле конечных приращений Лагранжа)=, так каки, то есть функция возрастает.
Геометрический смысл теоремы 2:
Если , то касательная везде образует положительный (острый) угол с осью Ох, функция идёт вверх (возрастает).
Теорема3: (Необходимый признак монотонности) Если f(x) возрастает (убывает) в и, то.
Доказательство: Пусть f(x) возрастает, если бы , то по Лемме (Есливнутренняя точка, то при, функция строго возрастает в, а когда, функция строго убывает)чтоf(x) строго убывает в , что противоречит условию.
Замечание: Из того, что f(x) строго возрастает в , еще не следует что(может быть).
(25)Правило Лопеталя
1)При вычислении пределов, встречаются неопределенности разных типов: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7).
Принципиально все эти неопределенности сводятся к ( 1)f(x)+g(x)= =:)можно рассмотреть один основной случай.
2) Теорема1: Пусть f(x) и g(x) определены на [a,b] , и :
1) конечные
2) g(x) ине равны 0 в точкеа
3)
тогда, (1)
Доказательство: Так как и конечны, то функцииf(x) и g(x) непрерывны в точке а, тогда в силу непрерывности и условия 3 имеем,, так как, тов некоторой окрестности точкиа так, что отношение = ()=, получаем что,.
Пример:
=
Если одновременно выполняется что, , то можно воспользоваться теоремой2.
Теорема2: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b> и,
1) конечные производныеf(x) и g(x) до n-1 порядка, включительно, в <a,b>
2)
3) ,
4) конечные,, причем
тогда
Доказательство: Применим к каждой из функций f(x) и g(x) в промежутке [a,x] (a<xb) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, , где- бесконечно малая функция того же порядка, что и.f(x)=f(a)+ ++…+, согласно 2 и 3 все, кроме последнего члена равно 0.
, ,так как, тоg(x) тоже не равно 0, по крайней мере, в некоторой окрестности точки а, и тогда отношение имеет смысл, тогда.
Пример:
==0.
, .
,.
,.
Теорема2 фактически говорит о том, что правило Лопеталя можно применять конечное число раз.
Теоремы1 и 2 достаточно для раскрытия неопределенности, но практически удобнее использовать теорему3.
Теорема3: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b>
1) конечные, причем
2) или
3) конечный или бесконечный,
тогда .
Таким образом, теорема3 сводит предел отношения двух функций к пределу отношения производных, если последние существуют.
Часто оказывается, что нахождение предела отношением производных проще и может осуществляться элементарными методами.
Пример:
1)===
2) =
3) ==(Если, то еще раз применяем правило Лопеталя)=
Вывод: При логарифмическая функция возрастает гораздо медленнее, чем любая положительная степеньx, а последняя в свою очередь гораздо медленнее, чем показательная.
(26)Экстремумы функции: необходимый признак и первый достаточный признак.
1) Пусть задана на. Если- внутренняя точка обл определения функции, то в этой точке функция имеет максимум (минимум) если
Этот максимум (минимум) будет строгим, если неравенства строгие.
Замечание:
Точки экстремума (макс., мин.) по определению рассматриваются лишь во внутренних точках, в литературе иногда говорят о краевых экстремумах