- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
Асимптоты к графику функции:
Определение:
Прямую называют асимптотой для некоторой кривой, если при удалении вдоль кривой в бесконечность расстояние между прямой и кривой стремится к нулю.
Определение 1:
Прямая , называется вертикальной асимптотой к графику, если
Определение 2:
Прямая , называется правой (левой) наклонной асимптотой к, если
Для практического нахождения асимптот служит теорема:
Теорема (критерий наклонной асимпт):
Для того, чтобы прямая была правой (левой) наклонной асимптотой для графиканеобходимо и достаточно чтобы:
1.
2.
Доказательство:
1) Необходимость:
- правая наклонная асимптота. Тогда для нее справедливо (1), т.е.
выполнено условие 1
выполнено условие 2
1) Достаточность:
Выполним условия 1 и 2 теоремы для некоторой прямой . В таком случае из условия 2 следуетА это означает равенство (1), т.е. прямая является некоторой асимптотой
Пример:
1) вертикальная асимптота
2) ;
3)
Построение графика функции с использованием производных:
Можно рекомендовать следующую схему при построении графиков:
1) Найти область определения, характерные особенности (чет, нечет, периодичность и точки разрыва);
2) Найти точки пересечения графика с осями координаты и промежутки знака постоянства функции;
3) По первой производной найти промежутки монотонности, точки подозрительные на экстремум, исследовать их (если это удобно, с помощью первой производной);
4) По второй производной найти промежутки определенного направления вогнутости, точки подозрительны на перегиб и исследовать их; если необходимо, продолжить исследовать на экстремум подозрительный точки с помощью старших производных;
5) Найти вертикальные и наклонные асимптоты;
6) Вычислить значения функции в найденных характерных точках и исследовать поведение функции в точка разрыва и граничных точках;
7) Результаты снести в таблицу при этом возможно взять несколько дополнительных точек и построить график.
Пример:
1) ;
2)
3) ;;
4)