Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Матан 1 семестр - экз(шпора-колонки).doc.docx
Скачиваний:
90
Добавлен:
12.03.2016
Размер:
1.56 Mб
Скачать

3) Производная сложной функции

Теорема: 1) Пусть y=f(x), f:ER , z=g(y), g:GR, из них составляется сложная функция. 2) Существуют конечные , тогда существует.Производная сложной функции по окончательному переменному равна произведению производной функции по промежуточному переменному на произведение промежуточного переменного по окончательному.

Док-во: рассмотрим , при этомполучит,перейдет в значение равное.

Пример: ,,

(12)Связь между существованим производной и касательной

1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если

а) существует наклонная касательная к графику функции y=f(x) в точке , то с уществует и конечная производная

б) докажем, что из существования существование касательной к графику функцииy=f(x) в точке М.

Доказательство: Существует ,, то есть в любом случае существование какой-либо производной влечет за собой существование касательной (наклонной или вертикальной).

в)Следствие: Существование наклонной касательной в существованию конечной производной.

В б) показано, что существование производной влечет за собой существование касательной, причем если производная , то касательная вертикальна, заметим, что из существования касательной еще не следует существование производной с учетом а) это относится к случаю с вертикальной касательной.

Пример:

В есть касательнаяОх но производной нет.

2)Односторонние производные и касательные

Определение: Предельное положение секущей при справа(слева), называется правой(левой) касательной к графику функцииy=f(x) в точке

Определение: Правой(левой) производной функции f(x) в точке называется, обозначается; существование обычной производной (и+ и-),существованию и совпадению обеих односторонних производных.

Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.

(13)Дифференциал функции, его геометрический смысл.

1)Определение: Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде(1), гдеА-const. - линейно относительнои отличается от приращения функции на бесконечно малую величину; поэтому- главная линейная часть приращения функции.

Определение: Если функция f(x) дифференцируема в точке , то главную линейную часть её приращения называют дифференциалом функции в точке, с приращением; обозначается:.dy=(2)

Теорема: Утверждение, что f(x) дифференцируема в точке утверждению, чтоконечная, причем в 1 в ролиA.

Доказательство: :Итак, функция дифференцируемавыполнено 1.доказано.

Доказательство: : Пусть конечная, докажем тогда по формуле для полного приращения функции, где- конечная,-. Сравнивая с 1, видим, что функция дифференцируема, причем доказано.

Замечание: Так как дифференцируемостьконечная, часто вместо дифференцируемость говорят производная, поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием.- дифференциал, и обозначается, поэтому с учетом теоремы:

Замечание2: Из

2)Геометрический смысл дифференциала:

Таким образом, дифференциал это

приращение ординаты касательной.