- •(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.
- •Свойства функций:
- •1) Общие свойства
- •2) Односторонняя непрерывность
- •3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции
- •(2)Непрерывность элементарных функций
- •1) Основные элементарные функции
- •(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях
- •(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой
- •2) Признаки открытости и замкнутости множеств
- •(5)Компакт.Критерии компакта.
- •(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях
- •(8)Классификация разрывов функции
- •1) Формула для приращения функции
- •3) Производная сложной функции
- •(12)Связь между существованим производной и касательной
- •1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
- •Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
- •3) Связь между дифференциированностью, наличием конечной производной и непрерывностью
- •3)Дифференциал сложной функции и его эквивалентность.
- •(15)Производные высших порядков.Формула Лейбница.
- •1)Понятие производной высшего порядка
- •3)Формула Лейбница для производных высшего порядка от произведения
- •(24) Признаки монотонности и постоянства функций
- •(25)Правило Лопеталя
- •2) Необходимый признак экстремума
- •3) Достаточные признаки эктремума
- •(30) Асимптоты к графику функции.Построение графиков с использованием производных.
- •Построение графика функции с использованием производных:
3) Производная сложной функции
Теорема: 1) Пусть y=f(x), f:E→R , z=g(y), g:G→R, из них составляется сложная функция. 2) Существуют конечные , тогда существует.Производная сложной функции по окончательному переменному равна произведению производной функции по промежуточному переменному на произведение промежуточного переменного по окончательному.
Док-во: рассмотрим , при этомполучит,перейдет в значение равное.
Пример: ,,
(12)Связь между существованим производной и касательной
1)В задаче 2 (5.1) фактически было доказано, что если
а) существует наклонная касательная к графику функции y=f(x) в точке , то с уществует и конечная производная
б) докажем, что из существования существование касательной к графику функцииy=f(x) в точке М.
Доказательство: Существует ,, то есть в любом случае существование какой-либо производной влечет за собой существование касательной (наклонной или вертикальной).
в)Следствие: Существование наклонной касательной в существованию конечной производной.
В б) показано, что существование производной влечет за собой существование касательной, причем если производная , то касательная вертикальна, заметим, что из существования касательной еще не следует существование производной с учетом а) это относится к случаю с вертикальной касательной.
Пример:
В есть касательнаяОх но производной нет.
2)Односторонние производные и касательные
Определение: Предельное положение секущей при справа(слева), называется правой(левой) касательной к графику функцииy=f(x) в точке
Определение: Правой(левой) производной функции f(x) в точке называется, обозначается; существование обычной производной (и+ и-),существованию и совпадению обеих односторонних производных.
Связь между существованием односторонней касательной и существованием односторонней производной (с той же стороны) такая же как и двусторонней.
(13)Дифференциал функции, его геометрический смысл.
1)Определение: Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде(1), гдеА-const. - линейно относительнои отличается от приращения функции на бесконечно малую величину; поэтому- главная линейная часть приращения функции.
Определение: Если функция f(x) дифференцируема в точке , то главную линейную часть её приращения называют дифференциалом функции в точке, с приращением; обозначается:.dy=(2)
Теорема: Утверждение, что f(x) дифференцируема в точке утверждению, чтоконечная, причем в 1 в ролиA.
Доказательство: :Итак, функция дифференцируемавыполнено 1.доказано.
Доказательство: : Пусть конечная, докажем тогда по формуле для полного приращения функции, где- конечная,-. Сравнивая с 1, видим, что функция дифференцируема, причем=А доказано.
Замечание: Так как дифференцируемостьконечная, часто вместо дифференцируемость говорят производная, поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием.- дифференциал, и обозначается, поэтому с учетом теоремы:
Замечание2: Из
2)Геометрический смысл дифференциала:
Таким образом, дифференциал это
приращение ординаты касательной.