1.14 Матричные уравнения

Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

где – известные матрицы, а– неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицыиобратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрицаявляется решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицымы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

Предложение 1.8. Пусть матрицы иобратимы, тогда уравнения(1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

, ()

, ()

, ()

◄ Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) (в первом случае иво втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

Пусть ,, тогда по необходимости матрицыиимеют размер. Так как,, то для любой матрицыизсуществует матрицавида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем

,

т.е. матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.

Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство

.

Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу, получаем, что

или

.

т.е. имеет вид (). ►

Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

Предложение 1.9. Пусть и. Тогда уравнения

, (1.27)

(1.28)

равносильны для любых матриц из .

◄ Действительно, если – решение уравнения (1.27), тогда. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу, получаем, что.

или ,

т.е. является решением уравнения (1.28). Наоборот, если– решение уравнения (1.28), тогда

.

Но матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу, получаем, что

,

т.е. – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►

Упражнения

1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

3. Если матрица имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

4. Матрицы иимеют вид:

а) б).

Каковы размеры матрицы , если известно, что?

5. Даны матрицы и. Найти матрицы.

а) ; б);

в) .

6. Найти произведение матриц , если:

а) ; б);

в) ; г)

д) ; е);

ж) ;

з) ;

и) ; к);

л) ; м).

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

Пример 10. Найти матрицу , если

.

◄ Матрица существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,или.

Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если, и – «сложным», если(сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицууказанными выше способами.

В первом случае последовательность вычислений такова:

1)– 6 ССУ

2) – 2 ССУ

3) – 8 ПСУ.

Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

Во втором случае:

1)– 12 ПСУ

2)– 12 ССУ

3) – 8 ССУ.

Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

В самом деле,

1)– 3 ССУ

2) – 2 ССУ

3) – 8 ПСУ.

Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

7. Найти произведение , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

При вычислении матричных выражений вида предварительно следует привести подобные члены, если это возможно.

Пример 11. Найти матрицу

,

если

,

.

◄ Приводим подобные члены в исходном выражении для матрицы ,

.

Так как

,

. ►

8. Найти матрицу , если:

а)

;

б)

.

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

Пример 12. Найти матрицу

,

если

◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

9. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

10. Найти матрицу , если:

а) ;

б) ;

в) .

11. Найти матрицу , если

.

12. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицыдолжно совпадать с числом столбцов матрицы.

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы.

Пример 13. а) Найти матрицу

.

◄ Пусть , тогда

Поэтому

►

б) Найти матрицу , где

.

◄ Рассмотрим матрицы и:

,

.

Но тогда

. ►

13. Вычислить значение матричного выражения:

а) , если;

б) , если;

в) , если

, .

14. Вычислить .

Пусть – многочлен,,,. Многочленомот матрицыназывается матричное выражение

, где .

Пример 14. Найти значение , если

.

◄ По определению

. ►

15. Найти значение :

а) ;

б) ;

в) .

Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

Пример 15. Разложить матрицу в произведение простейших. Выяснить, является ли матрицаобратимой, и в случае её обратимости найти матрицу, если

.

◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу к виду,

.

Матрица обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

слева,

.

Матрица обратима и. Поэтому

).

Откуда следует что

. ►

16. Указать элементарные матрицы, отвечающие следующим элементарным преобразованиям матрицы размера :

.

17. Каким элементарным преобразованиям матрицы размера соответствуют элементарные матрицы:

, ,,

, ,.

18. В матрице произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицыили(соответствуют строчным преобразованиям,– столбцовым):

а) ,

.

б) ,

,

.

19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

а) , б), в), г),

д) , е), ж), з).

20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

21. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу. Матрицаимеет вид:

а) , б), в).

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.