- •Алгебра
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
1.8 Теория делимости квадратных матриц
Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.
Любое отличное от 0 действительное число имеет обратное число, т.е.
, (1.11)
и поэтому любое действительное число можно разделить на любое ненулевое число,
Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).
Матрица называетсяобратимой, если существует такая матрица , что
. (1.12)
Если матрица обратима матрицаназывается еёобратной матрицей и обозначается . Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок. В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству, а единичную матрицубудем обозначать для простоты. Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядкав дальнейшем будем обозначать через.
Свойства обратимых матриц.
1) Если ,её обратная матрица единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства
. (1.13)
где . Умножая обе части равенствана матрицуслева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что
.
С другой стороны,
, т.е. . ►
2) Если ,тогда ,и .
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3) Если ,тогда ,и
. (1.14)
◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что
или
.
Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид, т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если и ,тогда матрица обратима и
. (1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
,
.
Откуда следует обратимость матрицы и равенство (1.15). ►
5) Если ,тогда и
(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы ,
Откуда следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицыи второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если ,то во множестве всегда существует необратимые матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
.
Действительно, равенство не может выполняться ни для какой матрицыиз , так как в произведениипоследняя строка всегда нулевая и поэтому
.►
Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .
Предложение 1.1. Если матрица является истинным делителем нуля, тогда она необратима.
◄ Пусть матрица и существует такая матрица,, чтоили . Тогда матрицане может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы, что
,
тогда умножая обе части равенства на матрицусправа (или обе части равенствана матрицуслева), получаем, что
и аналогично в случае . ►
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение 1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.
Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».